LA RECIPROCIDAD Y LA PARADOJA DEL VOTANTE

RECIPROCITY AND THE PARADOX OF VOTING

Jorge Andrés Gallego*

* Magíster en Economía, profesor de la Universidad Nacional de Colombia y de la Universidad Externado de Colombia, Bogotá, Colombia, jagallegod@unal.edu.co Agradezco el apoyo de Luis Fernando Medina y Gustavo Junca. Además, agradezco los profundos comentarios de Sergio Monsalve, Juan Camilo Cárdenas y Julián Arévalo. Cualquier error u omisión es responsabilidad mía. Fecha de recepción: 19 de enero de 2007, fecha de modificación: 19 de febrero de 2007, fecha de aceptación: 28 de febrero de 2007.

RESUMEN

[Palabras clave: reciprocidad, paradoja del votante, preferencias sociales, juegos evolutivos, JEL: C73, D72]

Este artículo muestra que para un ciudadano con preferencias recíprocas, votar puede ser racional, pues aun en elecciones concurridas, en las que la probabilidad de ser el votante decisivo es cercana a cero, la utilidad que produce el sentimiento de reciprocidad fuerte puede compensar el costo de votar. Además, presenta un modelo de comportamiento con preferencias sociales, que establece las condiciones en que votar es preferible a abstenerse. El uso de la dinámica del replicador para explorar la evolución del juego de votación permite concluir que la reciprocidad positiva promueve el voto por un candidato en el poder, mientras que la reciprocidad negativa promueve la abstención o el voto por un candidato rival.

ABSTRACT

[Key words: reciprocity, paradox of voting, social preferences, evolutionary games, JEL: C73, D72]

This article shows that for a citizen with reciprocal preferences, voting can be a rational act. Even in elections with many voters, when the probability of being the pivotal voter is close to zero, the utility generated by strong reciprocal sentiments can compensate the material costs of voting. This paper offers a behavioral model with social preferences that represents the conditions that make voting more attractive than abstention. Using the dynamics of replication to explore the voting game evolution, it concludes that positive reciprocal sentiments promote voting for the candidate in power, while negative reciprocity promotes abstention or voting for a rival candidate.

INTRODUCCIÓN

Las encuestas sobre intención de voto para las elecciones presidenciales en Colombia en 2006 fueron bastante acertadas. El presidente Álvaro Uribe era el seguro ganador en primera vuelta pues se predecía que más del 50% del electorado votaría por él. El segundo lugar sería para el candidato de la izquierda Carlos Gaviria, que obtendría un poco más del 20% de los votos. Los resultados electorales no estuvieron muy alejados de lo que predecían las encuestas. Pero si la opinión pública conoce esta información antes de las elecciones, surgen naturalmente algunas preguntas acerca del comportamiento de los votantes. ¿Por qué un elector uribista se toma el trabajo de acudir a las urnas si es casi seguro que su candidato ganará con o sin su voto? ¿Para qué vota un gavirista si todo indica que su candidato perderá? Estas inquietudes no son más que manifestaciones de la paradoja del votante de la que se vienen ocupando algunos científicos sociales desde hace décadas.

Si enfocamos el problema desde la teoría de la elección racional, concluiremos que el hecho de que los individuos voten no es en apariencia un acto racional. Los primeros en plantear esta paradoja fueron Downs (1957) y Tullok (1968). Votar es en principio beneficioso siempre y cuando el votante sea decisivo. Todo depende de que una persona, con su voto, logre inclinar la balanza en favor de sus intereses.

Sea B el beneficio de que su candidato sea elegido¹. Llamemos Pr[G|V] Î [0, 1] a la probabilidad de que el candidato preferido de un votante sea elegido cuando el votante participa y vota. Sea Pr[G|A] la probabilidad de que el candidato sea elegido cuando el votante se abstiene de votar. Además, votar es costoso. Sacrificar un día de ocio para acudir a las urnas produce cierta insatisfacción. Por ello, las autoridades electorales adoptan estrategias para reducir ese costo (el voto electrónico, por ejemplo). Sea c el costo de votar. El pago esperado por votar es entonces²:

mientras que el pago esperado por abstenerse es:

Así, un votante racional preferiría votar a abstenerse siempre que

o, en forma equivalente, si

La clave del análisis está en el término Pr[G|V] – Pr[G|A]. Esta diferencia es la probabilidad de ser el votante decisivo o pivotal, o diferencia entre la probabilidad de que un candidato gane con el voto de un participante particular y la probabilidad de que gane sin su participación.

Pero es de esperar que cuantas más personas concurran a votar, menos probabilidad habrá de ser el votante decisivo. En estas circunstancias, votar no sería racional porque el costo sería mayor que el beneficio. Ésta es la paradoja del votante. Cuantas más personas votan, menor el beneficio. Pero, una elección tras otra, las personas votan en porcentajes no despreciables. ¿Qué las motiva? La literatura sobre el tema ofrece diferentes explicaciones. Se podría pensar, por ejemplo, que la elección del candidato preferido no es el único beneficio. La utilidad del votante podría ser creciente en el margen de la victoria. Esto motivaría el voto. Los electores también pueden votar simplemente porque es un deber cívico. O porque intentan minimizar el sentimiento de arrepentimiento por haber perdido con un margen bajo.

En general, se pueden dar explicaciones a la paradoja del votante desde varias perspectivas. Es posible justificar el voto como un acto racional identificando con claridad los beneficios verdaderos, los costos verdaderos o la manera de determinar las expectativas y las probabilidades de ser decisivo. Downs (1957), Riker y Ordeshook (1968), Ferejohn y Fiorina (1974), Aldrich (1993) y Medina (2006), entre otros, la explican desde esta perspectiva. Palfrey y Rosenthal (1983 y 1985), Ledyard (1984) y Schram y van Winden (1991) ofrecen explicaciones interesantes desde la teoría de juegos incorporando interacción estratégica.

Riker y Ordeshook (1968) justifican el voto como acto racional reescribiendo el costo neto c = C – D, donde C > 0 es el costo bruto y D > 0 es el beneficio³. C representa la desutilidad, el tiempo perdido o el sacrificio de ocio. La clave está en D: esta representa el incremento de la satisfacción por el acto de votar. Por ejemplo, el deber cívico de muchos individuos, la satisfacción por apoyar a un partido, candidato o a la democracia, la utilidad inherente al acto social de votar, etc. También representa los incentivos selectivos usuales en los procesos electorales⁴. Si c = C – D es negativo, reemplazando en (1), así la probabilidad de ser pivotal sea cero, votar es mejor que abstenerse. Riker y Ordeshook (1968) muestran porqué la expectativa de ser el votante pivotal no es cero, lo que refuerza la tesis de que votar es racional. En elecciones reñidas, en las que hay alta probabilidad de empate, la expectativa de los ciudadanos acerca del término subjetivo Pr[G|V] – Pr[G|A] está “inflada”. Es decir, los incentivos para votar son elevados.

Ferejohn y Fiorina (1974) siguen la tradición de la teoría de la elección racional pero cuestionan las implicaciones de “ser racional”. Para ellos, ser ciudadano racional no implica necesariamente maximizar la utilidad esperada, como sugieren los análisis de Downs (1957), Tullok (1968) y Riker y Ordeshook (1968). Los votantes podrían más bien “minimizar el máximo arrepentimiento”⁵. Desde esta óptica, a un individuo no le importa que sea alta o baja la probabilidad de empate y de ser el votante pivotal. Lo que le interesa es minimizar la probabilidad de arrepentirse si su candidato no gana por pocos votos. Votar minimiza este arrepentimiento.

Estos modelos tienen en común la ausencia de interacción estratégica, pues cada ciudadano toma su decisión de voto independientemente de la decisión de los demás. Palfrey y Rosenthal (1983 y 1985), Ledyard (1984), Schram y Van Winden (1991) y Medina (2006) abordan el problema desde la teoría de juegos. En Ledyard (1984), la paradoja del votante es análoga al problema del gorrón en el pago de los bienes públicos. Si los demás votan (contribuyen), para un ciudadano lo mejor es no votar (no contribuir). Abstenerse es un equilibrio de Nash. Palfrey y Rosenthal (1983 y 1985) abordan el problema desde los juegos de participación, y sus modelos (con y sin información completa) generan equilibrios múltiples, algunos de los cuales, dadas las expectativas, arrojan altos porcentajes de votación. Schram y Van Winden (1991) elaboran un modelo en el que la presión social que ejercen ciertos líderes al interior de los grupos políticos puede ser suficiente para compensar los incentivos a no votar. Medina (2006) analiza los equilibrios múltiples de los modelos de Palfrey y Rosenthal usando el procedimiento de rastreo propuesto por Harsanyi y Selten (1988). En muchos de estos equilibrios el porcentaje de votantes es elevado.

Estas teorías tienen dos rasgos comunes. Primero, las preferencias de los votantes son las del homo economicus: el único determinante de su satisfacción final es el pago. Hay una ausencia de preferencias sociales, es decir, la satisfacción final de un ciudadano no depende del pago de los demás ni del de los candidatos. Segundo, el voto no se concibe como una institución, un acto cultural o un hábito. En otras palabras, votar es un acto racional y en ninguna circunstancia se contempla la posibilidad de que los ciudadanos simplemente estén “programados” para votar o abstenerse.

Las explicaciones de la teoría de la elección racional son un camino. Pero también se podría pensar que el voto es un acto cultural determinado por hábitos, costumbres o instituciones informales. Por ejemplo, si soy menor de 25 años, por simple formación de preferencias, es menos probable que vote: si pertenezco a una familia de arraigada tradición liberal, es más probable que vote por el candidato liberal, sin fijarme en la probabilidad de que gane gracias a mi participación. Pero los hábitos, las costumbres y las instituciones evolucionan. En otros términos, el acto de votar puede ser una consecuencia de fuerzas evolutivas que, junto al aprendizaje y la adaptación, complementan los procesos de racionalidad implícitos en este tipo de decisiones.

Este artículo presenta un enfoque alternativo para estudiar la paradoja del votante. Muestra que sentimientos morales distintos del interés propio ayudan a entender porqué se vota. En particular, si se consideran preferencias sociales y se acepta que la reciprocidad es importante en el comportamiento humano, se puede dar otra respuesta a esta paradoja. La hipótesis es que el sentimiento que motiva a los individuos a premiar la cooperación con cooperación y a castigar la falta de cooperación aun con costos personales, explica en parte por qué la gente vota. A veces vota para premiar las buenas actuaciones de ciertos candidatos o partidos políticos. El voto es un gesto de agradecimiento. Y, a veces, para castigar el mal gobierno o los malos actos, apoyando candidatos de la oposición. Luego de considerar las implicaciones de la reciprocidad, se busca entender el acto de votar en un contexto cultural donde el voto es un hábito que evoluciona en función de los beneficios y las ganancias. Es decir, la paradoja del votante se analiza desde una perspectiva diferente a la convencional incorporando preferencias sociales diferentes al interés propio, y no racionalidad, incorporando dinámicas evolutivas.

Los resultados se pueden resumir como sigue. Cuando se siente reciprocidad hacia los candidatos, los beneficios de votar pueden compensar los costos; así, el voto es un acto racional. Además, la evolución de la proporción de votantes y abstencionistas depende de las condiciones iniciales (porcentaje inicial de votantes) y de factores políticos, económicos y sicológicos como las plataformas políticas de los candidatos, los costos y beneficios de votar, el desempeño del gobierno, la intensidad del sentimiento de reciprocidad o la intención que se atribuye a los actos de los gobernantes.

El artículo tiene cuatro secciones. La primera expone la teoría de las preferencias sociales y un modelo de reciprocidad. La segunda presenta un modelo de votación con preferencias sociales recíprocas. Muestra que las personas que sienten reciprocidad hacia un candidato pueden estar más motivadas para votar. La tercera aborda el problema desde una perspectiva evolutiva, analizando, mediante la dinámica del replicador, la evolución del porcentaje de votantes y abstencionistas; la proporción de votantes en un momento dado depende de las condiciones iniciales, crece con una reciprocidad positiva hacia un candidato y disminuye con los costos de votar. Por último se presentan las conclusiones.

TEORÍAS DELA RECIPROCIDAD

MOTIVACIÓN EMPÍRICA

Esta sección presenta algunas de las motivaciones empíricas que dieron lugar a ciertas teorías del comportamiento con preferencias sociales, en particular a los modelos de reciprocidad fuerte. Los modelos de reciprocidad son recientes⁶. Los experimentos en juegos de negociación bilateral mostraron la importancia de este sentimiento. Quizás el más conocido sea el juego del ultimátum. El jugador 1, el oferente, tiene una suma de dinero x para repartirla con el jugador 2, y puede ofrecer cualquier cantidad entre 0 y x. Si el jugador 2 acepta la oferta, el dinero se reparte según lo acordado. Si la rechaza, el pago es cero para ambos. La predicción estándar, suponiendo individuos motivados por el interés propio, es que el jugador 1 ofrece la menor cantidad posible (e > 0) y el jugador 2 acepta. Si al jugador 2 sólo le preocupa su pago material y busca maximizarlo, e es preferible a cero: aceptar es mejor que rechazar. Sabiendo esto, si el jugador 1 tiene el mismo tipo de preferencias ofrecerá la menor suma posible al jugador 2 para maximizar su propio pago.

Pero, en general, la evidencia experimental no apoya esta predicción⁷. Algunos hechos estilizados de experimentos del juego del ultimátum revelan que: a) en promedio, los jugadores 1 ofrecen el 44% del dinero; b) la moda suele ser del 50%; c) las tasas de rechazo son significativamente diferentes de cero; d) en general, se rechazan ofertas inferiores al 30%, y e) no se rechazan ofertas cercanas al 50%.

Así, no es suficiente suponer el interés propio para explicar el comportamiento en este juego. El jugador 2 prefiere rechazar ofertas bajas y recibir un pago de cero. ¿Por qué? Algunos sugieren que por aversión a la desigualdad. Al individuo 2 le produce desutilidad estar en desventaja frente al individuo 1. Pero algunos experimentos descartan esta explicación mostrando que el jugador 2 toma represalias contra el jugador 1 aunque esto no garantice la igualdad de pagos. Quizás la explicación más aceptada sea la que identifica la reciprocidad fuerte como móvil de este comportamiento. Si la oferta es baja, el jugador 2 siente que el jugador 1 ha sido descortés, y lo penaliza con el único mecanismo que tiene: rechazar la oferta. El jugador 2 está dispuesto a tolerar un pago nulo si con eso penaliza el trato injusto del jugador 1. El jugador 1 anticipa esta jugada, por ello muchos ofrecen un porcentaje elevado (el 44% en promedio). Si la oferta es alta, el jugador 1 está cooperando con el 2. En este caso, la reciprocidad premia este gesto de justicia.

HOMO EGUALIS: AVERSIÓN A LA DESIGUALDAD

¿Cómo modelar estas preferencias sociales en las que priman sentimientos como la reciprocidad? En general, un individuo tiene preferencias sociales cuando su satisfacción no sólo depende de sus propios pagos, sino también de los pagos de los demás. Como vimos, los resultados experimentales del juego del ultimátum se explican con teorías de aversión a la desigualdad. Para el estudio de este sentimiento moral, Fehr y Schmidt (1999) proponen, para juegos de dos jugadores, las preferencias siguientes, en las que la utilidad de un jugador depende de su pago material y de que esté en ventaja o desventaja con respecto al otro jugador:

donde p_i es el pago material del jugador i; a_i la desutilidad que le produce la desigualdad desventajosa, y b_i el grado de desutilidad que le produce la desigualdad ventajosa. Con estas preferencias, su utilidad final luego de cierta interacción depende de su pago y de la relación entre su pago y el del otro jugador. La desigualdad produce desutilidad, esté en ventaja o en desventaja. Es natural suponer que a_i ³ b_i y que b_i Î [0, 1]. Esto significa que la desigualdad desventajosa produce más desutilidad que la desigualdad ventajosa. Además, b_i £ 1 implica que el jugador i no se castiga a sí mismo. Si b_i > 1, ¶u_i/¶p_i < 0, lo que no parece ser muy natural para la mayoría de los seres humanos⁸.

Estas preferencias, que se manifiestan en los resultados experimentales de juegos como el dilema del prisionero, el del bien público o el del dictador, provienen de la literatura antropológica (Gintis, 2000). El homo sapiens evolucionó de grupos de cazadores y recolectores como los Hadza de Tanzania (Henrich et al., 2004). Estos grupos no tienen una estructura centralizada de gobierno definida ni un sistema judicial claro; sus integrantes no toleran la aparición de líderes ni gobernantes y, por tanto, el cumplimiento de las normas depende de la voluntad de sus miembros. La cooperación entre desconocidos es frecuente. Comparten los alimentos y los frutos de la caza, y son habituales las prácticas igualitaristas, como la monogamia y el asesinato de los líderes. El igualitarismo del hombre moderno puede haber evolucionado a partir de esos grupos, porque aunque estas formas de cooperación no son rentables en el corto plazo, sí lo son en el largo plazo.

Analicemos una versión simple del juego del ultimátum con preferencias igualitaristas. El jugador 1 tiene $10 para repartir con el jugador 2. Supongamos, por simplicidad, que el jugador 1 sólo puede hacer una oferta equitativa (E, $5 para cada uno) o una inequitativa (I, $8 para él y $2 para el jugador 2). El jugador 2 puede aceptar (A) o rechazar (R). Si el jugador 2 rechaza, el pago es cero para ambos. La gráfica 1 representa el juego.

Gráfica 1
Ultimátum con pagos materiales

Supongamos además que las preferencias son igualitaristas, como en (2). Este juego se presenta en la gráfica 2.

Con estos pagos, el jugador 2 rechaza una oferta injusta si

es decir, si a₂ > 1/3. Si la aversión a la desigualdad desventajosa del jugador 2 es suficientemente alta, rechaza la oferta y prefiere un pago nulo. Esto es lo que suele ocurrir, entre un 40% y un 60% de las veces en que el jugador 1 ofrece menos del 20% en los experimentos del juego del ultimátum. Si a₂ < 1/3, es posible que la oferta sea equitativa. Esto ocurre si el jugador 1 tiene incentivos para hacerla, es decir, si 5 > 8 – 6b₁, o si b₁ > 1/2. Cuando el jugador 1 tiene una aversión a la desigualdad ventajosa suficientemente alta, prefiere la oferta equitativa a la inequitativa. El par (a_i, b_i) de cada jugador depende del contexto. Estudios experimentales con sociedades de escala pequeña⁹, en cuatro continentes y doce países, muestran que los niveles de generosidad y de cooperación en juegos como el del ultimátum dependen significativamente de variables económicas y culturales agregadas. Los niveles de cooperación en la vida diaria y la integración al mercado explican en gran medida qué tan generoso es el jugador 1 (Henrich et al., 2004). Un grupo de cazadores de ballenas, por ejemplo, depende notablemente de la cooperación entre no parientes, que se refleja en la generosidad del jugador 1. En cambio, variables económicas y demográficas individuales, como la edad, el sexo o la riqueza, no explican estas diferencias.

Gráfica 2
Ultimátum para un homo egualis

HOMO RECIPROCANS: COOPERACIÓN CONDICIONADA

A pesar de la aparente coherencia de los resultados, muchos experimentos muestran que las preferencias no sólo responden a sentimientos de aversión a la desigualdad, y que en muchos casos es más importante la reciprocidad (Bowles, 2003). Para modelarla, seguimos a Falk y Fischbacher (2006a y 2006b) y a Gintis (2000). Un individuo cuyas preferencias responden a sentimientos de reciprocidad fuerte tiene una función de utilidad de la forma:

A individuos con estas preferencias los llamamos homo reciprocans. El término p_i representa el pago material del jugador i. El segundo sumando es la utilidad generada por la reciprocidad. El término r_i ³ 0 denota la reciprocidad. Indica cuán importante es este sentimiento para el jugador. Si r_i = 0, la reciprocidad no importa y su utilidad es igual a la de un juego con preferencias egoístas. Por su parte, j_j representa la amabilidad que percibe en la acción del otro. Si es positiva, se considera amable, y si es negativa, se la juzga descortés. Por último, s_i representa la utilidad que le produce al individuo i el acto motivado por la reciprocidad. Si un individuo reacciona negativamente ante una acción poco amable y castiga al infractor, ese gesto genera utilidad en un homo reciprocans. Algo similar sucede si reacciona positivamente ante un gesto amable. En lo que sigue se formalizan estas intuiciones.

Estructura del juego

Consideremos un juego G de dos jugadores, en forma extensiva¹⁰. Se toma este número de jugadores porque en el análisis de la decisión de un votante se considera su interacción con el candidato. Llamamos J = {1, 2} al conjunto de jugadores. El árbol de decisión que representa la interacción secuencial es un par (X,), donde X es el conjunto de nodos y es la relación de precedencia. Para todo par x¹, x² Î X, la expresión x¹ x² significa que el nodo x¹ precede al nodo x². Se supone que es una relación transitiva y asimétrica¹¹.

Se supone que hay información completa y perfecta. Es decir, la estructura del juego es conocida por todos los jugadores, y en el momento de actuar conocen las decisiones de toda la historia del juego. Llamamos X_i Í X al conjunto de nodos en los que decide el jugador i. Cada jugador tiene un conjunto de acciones disponibles en cada nodo. A ese conjunto lo llamamos C_x, donde x Î X_i es un nodo en el que actúa el jugador i; Z es el conjunto de nodos terminales. En estos nodos ningún jugador actúa, el juego termina y cada jugador recibe un pago. La función de pagos es de la forma p_i: Z ® Â, es decir, la función de pagos de cada jugador asigna a cada nodo terminal un número real que representa el pago del jugador i.

En el momento de actuar en un nodo, los jugadores pueden aleatorizar sus acciones. Sea p(C_x) el conjunto de distribuciones de probabilidad de las acciones en x Î X_i. Así, el espacio de las posibles aleatorizaciones del jugador i en sus nodos de decisión es:

En la literatura de juegos en forma extensiva, el concepto de estrategia se modifica cuando las decisiones son secuenciales, para concebirla como un plan de contingencia que especifica una acción a cada posible historia del juego. A estas estrategias las llamamos estrategias de comportamiento. Una estrategia de comportamiento para el jugador i, s_i Î S_i asigna una probabilidad a cada acción disponible en los nodos en que actúa, en función de las actuaciones pasadas de los demás.

Así, p_i(s_i, s_j) y p_j(s_i, s_j) denotan los pagos de los jugadores i y j, cuando eligen las estrategias de comportamiento s_i y s_j. En esta teoría, son fundamentales las creencias de los jugadores sobre las acciones de los demás. Esto nos lleva al terreno de los juegos sicológicos (Geanakoplos et al., 1989), en los que las estrategias reales son tan importantes como las creencias. Hablamos de creencias de primero y segundo orden de acuerdo con la siguiente definición.

Definición 1: Creencias de primero y segundo orden

Una creencia de primer orden para el jugador i, s¹_i Î S_j representa su creencia sobre la estrategia elegida por el jugador j.

Una creencia de segundo orden para el jugador i, s¹_j Î S_i representa su creencia sobre la creencia del jugador j acerca de la estrategia elegida por el jugador i. Es decir, s²_i es la creencia de i sobre s¹_j Î S_i.

Un conjunto de creencias es coherente si para todo i ¹ j, s_i = s¹_j = s²_i, es decir, si la creencia de j acerca de lo que hará i y la creencia de i de lo que cree j que él hará coinciden con la elección de i. Estas creencias son fundamentales en los juegos dinámicos con preferencias recíprocas porque la respuesta de uno ante las acciones de los demás depende de lo que “crea” acerca de lo que juegan los otros.

Amabilidad percibida en el otro: resultados e intenciones

Ya vimos que la utilidad que produce el sentimiento de reciprocidad tiene dos elementos: la amabilidad percibida en una acción y la utilidad derivada de la respuesta a esa acción. En cuanto a la amabilidad, las acciones de los demás suscitan sentimientos de reciprocidad positiva o negativa en un jugador dependiendo de que los pagos, consecuencia de dicha acción, sean superiores o inferiores a un nivel de referencia, lo que lleva a percibir una acción como amable o no amable. Pero ese sentimiento será positivo, negativo o nulo dependiendo de que perciba intencionalidad o no en la acción. Veamos esto con un ejemplo experimental de Fehr y Falk (1999) y Bewley (2006). Un trabajador al que se le paga un salario alto con respecto a un nivel de referencia siente gratitud hacia el empleador. Si el jefe fijó un salario alto aunque podría haber fijado uno bajo, el sentimiento será mayor que si el jefe no tenía otra opción.

Llamemos j_j(x) Î Â al parámetro que mide la amabilidad percibida por el jugador i en el nodo x Î X_i, ante una acción de j en un nodo anterior. Para formalizar la noción de que el sentimiento de amabilidad depende de resultados e intenciones, lo definimos así:

donde q_j (x) es la intencionalidad percibida en la acción de j y D_j (x) Î Â mide el resultado de esa acción. Estas percepciones dependen del nodo x en el que se encuentre el jugador i. En particular, si D_j (x) > 0, la acción del jugador j generó ventaja al jugador i. Si D_j (x) < 0, la acción del jugador j generó desventaja al jugador i. La amabilidad que i percibe en la elección de j se define así:

Definición 2: Término de amabilidad

La amabilidad que percibe i en el momento de actuar en un nodo x Î X_i, luego de que j eligió una acción en un nodo x’ x, está dada por:

Aquí, el punto de referencia que usan los jugadores para juzgar si una acción es amable o descortés es un criterio de igualdad¹², que relaciona el enfoque de aversión a la desigualdad y el de reciprocidad. En este caso, una acción de j que genere desigualdad desventajosa a i será juzgada descortés. En cambio, la acción de j se juzgará amable si pone en desigualdad ventajosa al jugador i.

Por ejemplo, en el juego del ultimátum, si el jugador 1 ofrece una cantidad nula al jugador 2, lo pone en desventaja, pero si le ofrece más del 50% lo pone en ventaja. El jefe que fija un salario apenas superior al de reserva puede generarle una desventaja al trabajador, pero si le ofrece un salario mucho mayor le dará una ventaja. Por supuesto, definir qué es ventajoso y qué no lo es depende del punto de referencia de los jugadores, en este caso, la igualdad de pagos.

Pero el resultado final no debería ser lo único importante a la hora de juzgar si un acto es amable o no. También lo es la intención. En adelante, q_j(x) Î[0, 1] representa esa intención. q_j(x) = 0 representa una situación en la que el jugador i percibe que el jugador j no tuvo la intención de generar el resultado final. q_j(x) > 0 representa una situación donde sí se percibe esa intención. Cuando q_j(x) = 1, lo único que le importa al jugador i para determinar si la acción de j fue amable o no, es el resultado final, pues percibe completa intencionalidad.

La amabilidad de una acción en un escenario de interacción bilateral depende entonces del resultado final del acto y de la intención percibida de ese acto. Cuál de los dos aspectos es más importante depende del individuo y es un hecho empírico que se puede resolver experimentalmente.

En síntesis, un acto se percibe como amable o descortés por sus consecuencias y la intención que se percibe en él. Ésta es la principal razón por la que se escoge el modelo de Falk y Fischbacher para modelar la reciprocidad. Si bien hay otras teorías y modelos, como los de Rabin (1993), Levine (1998), Charness y Rabin (2002), Bowles (2003) y Dufwenberg y Kirchsteiger (2004), el enfoque de Falk y Fischbacher (2006b) es adecuado por su formalización de resultados e intenciones. Este par de elementos son fundamentales cuando un ciudadano juzga la amabilidad o descortesía de un candidato político.

La respuesta

Es natural suponer que un homo reciprocans reacciona amablemente ante un gesto amable y descortésmente ante un gesto descortés. La utilidad que genera la respuesta del jugador i ante un acto del jugador j se representa mediante s_i(x). Para definir este término, se usa la siguiente notación. Sea s_i(c_i) la estrategia de comportamiento de i que coincide con s_i salvo en el nodo x, donde i escoge la estrategia pura c_i Î C_i. Es decir, s_i(c_i) representa una alteración en el comportamiento de i.

Definición 3: Término de reacción recíproca

Para un juego en forma extensiva G, sea x Î X_i un nodo no terminal en el que actúa el jugador i, y en este nodo i elige c_i. La utilidad que genera este acto recíproco de i en x_i, ante un acto previo de j, es:

Es decir, la satisfacción que produce la respuesta recíproca de i a j la determina la alteración en el pago de j que i provoca con su decisión. En el juego del ultimátum, por ejemplo, cuando el jugador 2 rechaza una oferta inequitativa de (8, 2), de modo que el pago del jugador 1 es 0, altera ese pago en –8. ¿Por qué preferiría esta elección en vez de aceptar la oferta y quedarse con 2? Recordemos que el término r_ij_js_i representa la reciprocidad percibida por el jugador i. Supongamos que i es un homo reciprocans y que, por tanto r_i > 0. Consideremos además una situación en la que la acción de j se percibe como intencionalmente descortés. Así, q_j(x) > 0 (porque hay intencionalidad) y D_j< 0 (porque el acto fue descortés). Por tanto, j_j(x) < 0. ¿Cuál es la respuesta óptima del jugador i? Por un lado, el interés propio lo lleva a maximizar su pago material, independientemente de que aumente o reduzca el pago de j. Pero con preferencias sociales puede ser preferible hacer lo más bajo posible el pago de j, para que s_i(x) sea negativo y contrarreste el efecto de j_j(x). En esencia, las preferencias de un homo reciprocans deben representar este posible conflicto de intereses.

Utilidad y equilibrio

Como vimos, un individuo que responde a sentimientos de reciprocidad fuerte valora el pago material que recibe tras la interacción, la amabilidad que percibe en los actos del otro jugador y la satisfacción que produce su respuesta a estos actos. Formalmente, su utilidad se define así:

Definición 4: Utilidad de un homo reciprocans

Las preferencias de un homo reciprocans en un juego de dos jugadores en forma extensiva G están dadas por: x²

donde z es el nodo terminal que se alcanza en el juego.

Es decir, la reciprocidad que percibe i en los actos de j y su respuesta a esos actos se agregan en todos los nodos que preceden al nodo terminal z, en los que actúa i. A partir de estas preferencias es claro que el juego es sicológico. El pago de i depende de las creencias que tenga en cada nodo acerca de qué juega el jugador j y acerca de la creencia de j. Falta definir el concepto-solución de este tipo de juegos. Lo llamamos equilibrio recíproco, un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con preferencias recíprocas.

Definición 5: Equilibrio recíproco

Un vector de estrategias de comportamiento (s^*₁, s^*₂) es un equilibrio recíproco para un juego en forma extensiva G con preferencias recíprocas si, para todo i, la restricción de s^*_i a cada subjuego¹³ de G es un equilibrio de Nash.

Si un juego en forma extensiva tiene información completa y perfecta se puede usar el procedimiento de inducción hacia atrás para encontrar el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (Selten, 1975). En este sentido, se sigue suponiendo cierta racionalidad maximizadora de los jugadores. El enfoque que aquí se sigue y la teoría de juegos clásica difieren en la forma de las preferencias pero no en la manera de escoger las estrategias. Uno de los desafíos más interesantes para esta teoría de la reciprocidad es justificar la aparición de equilibrios en contextos poblacionales de interacción estratégica, en los que la evolución y el aprendizaje ayudan a entender el comportamiento de los jugadores. Abordamos este desafío más adelante.

Un ejemplo aclara las ideas que presentamos en esta sección. Consideremos nuevamente el juego del ultimátum de la gráfica 1. Supongamos que los jugadores tienen preferencias recíprocas¹⁴. Resolvamos el juego por inducción hacia atrás teniendo en cuenta únicamente las estrategias puras. Si el jugador 1 hace una oferta inequitativa, el jugador 2 cree que el jugador 1 quiere quedarse con 8, y dejarle 2 a él. En este caso, D₁ = -6 y el resultado de la acción del jugador 1 es descortés. El jugador 2 percibe completa intencionalidad en ese gesto descortés, porque existe una opción alternativa, el vector de pagos (5, 5), en el que el jugador 2 mejora sin superar al jugador 1. Por tal motivo, teniendo en cuenta intención y resultado, una oferta inequitativa de (8, 2) genera una reciprocidad negativa del jugador 2.

Si el jugador 2 acepta la oferta inequitativa, s₂(I, A) = 8 – 0 = 8, porque el pago de 1 es 8, y sería 0 si el jugador 2 la rechaza. En cambio, si la rechaza, s₂(I, R) = 0 – 8 = –8. El pago del jugador 2 cuando acepta una oferta inequitativa es u₂(I, A) = 2 + r₂(–6)(8) = 2 – 48r₂, y cuando la rechaza es u₂(I, E) = 0 + r₂(–6)(–8) = 48r₂. Rechazar es preferible a aceptar si r₂ ³ 1/48. Un jugador 2 para quien la reciprocidad es “suficientemente” importante preferirá rechazar la oferta inequitativa. Si r₂ es grande, el sentimiento de reciprocidad negativa puede primar sobre el afán de maximizar el pago material. Esto concuerda con los resultados experimentales, en los que un alto porcentaje de jugadores 2 rechaza ofertas inferiores al 30%.

Si el jugador 1 elige la oferta equitativa, se verifica fácilmente que el jugador 2 siempre prefiere aceptar que rechazar. Esto concuerda con el hecho estilizado del juego del ultimátum, según el cual el jugador 2 no rechaza ofertas cercanas al 50%. Así, si el jugador 1 anticipa bien el valor de r del otro jugador y reconoce que es “suficientemente alto”, preferirá hacer la oferta equitativa. El problema sería que no lo anticipe adecuadamente. Si lo subestima, su oferta inequitativa puede ser rechazada, como pasa un 20% de las veces en los experimentos. En conclusión, en el equilibrio recíproco, cuando r₂ ³ 1/48, el jugador 1 elige la oferta equitativa, y el jugador 2 rechaza la oferta inequitativa y acepta la equitativa. Si r₂ < 1/48, el equilibrio coincide con el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de jugadores homo economicus, porque el jugador 2 da poco peso al sentimiento de reciprocidad y mucho más al pago material.

En conclusión, un homo reciprocans es un cooperador condicional. Responde con amabilidad a gestos amables y con descortesía a gestos descorteses. Sus preferencias son sociales porque su satisfacción depende de su pago y del de los demás jugadores. La amabilidad que percibe en el otro no depende sólo de resultados sino también de intenciones. Su racionalidad sigue siendo maximizadora, pero los sentimientos de reciprocidad fuerte afectan sus decisiones.

UN MODELO DE VOTACIÓN CON HOMO RECIPROCANS

EL VOTO COMO GESTO DE RECIPROCIDAD

Los modelos económicos que se utilizan para analizar la conducta de los agentes (consumidores, empresas, votantes, gobiernos, etc.) suelen suponer que el único sentimiento moral que incide en las preferencias es el interés propio¹⁵, de modo que la satisfacción depende totalmente del pago al individuo y no del de los demás. El individuo tiene preferencias sociales cuando su satisfacción final depende no sólo de su pago material sino también del pago material de los demás. Las preferencias sociales son el resultado de una serie de sentimientos morales distintos del interés propio, que también condicionan la conducta individual. En muchos contextos de interacción social y económica, la reciprocidad, el altruismo, la justicia, la envidia, la culpa, la vergüenza, el amor o el igualitarismo pesan más que el interés propio, como muestra la literatura experimental.

Por reciprocidad fuerte entendemos la predisposición de los individuos a cooperar con quienes cooperan aunque haya incentivos individuales para no hacerlo, y de castigar a quienes violan las normas de cooperación, aunque el castigo sea costoso y no reporte ningún beneficio futuro. En numerosas transacciones bilaterales, el comportamiento individual está condicionado por sentimientos de reciprocidad. Se reconoce cada vez más que sentimientos morales como la reciprocidad fuerte o la aversión a la desigualdad tienen gran impacto en el comportamiento económico de los individuos. Algunos estudios muestran que en el mercado laboral, por ejemplo, los empresarios se niegan a bajar los salarios en épocas de recesión por temor a desincentivar a los trabajadores. Como señalan Bewley (2006) y Fehr y Falk (1999), la rigidez de los salarios podría ser una consecuencia de la reciprocidad fuerte.

Estudios como el de Fong et al. (2006) muestran que la actitud de los votantes ante las políticas de bienestar y redistribución está condicionada por la concepción de la pobreza y la ética de los pobres frente al trabajo, más que por su nivel de ingreso. En una sociedad desigual en donde la mayoría de la población tiene un ingreso inferior al promedio, la mayoría votaría por políticas redistributivas para quitar ingreso a los ricos y redistribuirlo entre los pobres. En este contexto, según la lógica del interés propio, el apoyo a la redistribución debería disminuir con el nivel de ingreso, pero los estudios muestran lo contrario. El ingreso suele ser un mal predictor, la actitud ante la pobreza y la ética de los pobres hacia el trabajo son mejores. En general, si se cree que los pobres lo son por mala suerte y que si tuvieran oportunidades se esforzarían por mejorar su situación, se apoyarían las políticas de bienestar y redistribución. Pero si se cree que la pobreza es consecuencia de la pereza y la mala disposición frente al trabajo, dichas políticas no se apoyarían. La reciprocidad fuerte explica entonces la actitud ante estas políticas, y no el interés propio. Estos y otros ejemplos indican que la reciprocidad fuerte ayuda a entender algunas relaciones económicas y políticas no contractuales.

Esta sección muestra que el sentimiento de reciprocidad fuerte puede explicar porqué los individuos votan. Cuando la probabilidad de ser el votante decisivo tiende a cero, es de suponer que el beneficio material de votar es inferior al costo. Pero esto puede cambiar si consideramos preferencias sociales en las que la reciprocidad juega un gran papel. En general, si los votantes sienten que un candidato ha cumplido las normas de cooperación (mejorando el nivel de vida), pueden sentirse motivados a retribuirle positivamente. La manera más directa es votar por él; también podrían hacerle publicidad o darle apoyo no pecuniario. En este caso, el sentimiento de reciprocidad los motiva a votar, sin importar el costo de acudir a las urnas.

Pero la decisión de votar también puede responder a la reciprocidad negativa, que surge cuando alguien infringe una norma de cooperación. El individuo se ve motivado a castigar al infractor, aunque el castigo sea costoso y no reporte ningún beneficio futuro. Cuando por algún motivo un candidato o grupo político infringe las normas de cooperación (gobernando mal o siendo objeto de algún escándalo de corrupción, por ejemplo), el votante busca castigar al candidato, no votando por él, o lo que es más costoso, votando por un adversario. En este caso, el deseo de castigar al candidato puede pesar más que el costo de votar (reciprocidad negativa).

Algunos ejemplos pueden servir como referencia. El panorama político previo a las elecciones de 1998 no era favorable para el presidente saliente, Ernesto Samper. El escándalo del “Proceso 8.000” y la presunta filtración de dineros del narcotráfico en su campaña generaron graves problemas de gobernabilidad. Es probable que muchos colombianos votaran por el candidato ganador, Andrés Pastrana, porque simpatizaban con sus ideas. Pero muchos votaron por la oposición, contra el candidato samperista Horacio Serpa. En este caso poco importaba el costo de votar, era más importante castigar el mal gobierno de Samper votando por su opositor.

Veamos ahora la reelección de Álvaro Uribe en 2006. Cabe preguntar por qué un uribista acude a las urnas, si las encuestas lo dan como seguro ganador en la primera vuelta. Es decir, si el voto de muchos otros garantiza el triunfo del candidato, ¿para qué votar si es costoso? La reciprocidad fuerte puede ser la explicación. Si el votante cree que el primer gobierno de Uribe fue positivo y que sus condiciones de vida mejoraron, se puede sentir motivado a cooperar acudiendo a las urnas, así sea costoso.

En esta sección se formalizan dichas ideas mediante un modelo que capta las preferencias sociales de los votantes, y se muestra que la reciprocidad puede justificar el voto como un acto racional.

EL MODELO

Consideremos un juego de dos jugadores en forma extensiva G, en el que un candidato interactúa secuencialmente con un ciudadano. En la primera etapa, el candidato anuncia su plataforma política. Sea C₁ = {m_I, m_D} el espacio de elección del candidato¹⁶. Llamamos a la relación de preferencia débil del candidato, definida sobre C₁. Así, m_{I 1} m_D implica que el candidato prefiere débilmente la plataforma m_I a la plataforma m_D. Se supone además que ₁ es completa¹⁷. El candidato desea obtener la mayor cantidad de votos y ser fiel a sus principios ideológicos. La función de pagos del candidato es:

donde c₂ es la estrategia escogida por el votante. La utilidad del candidato depende de su plataforma política y de que reciba o no el voto del ciudadano. Es natural suponer que manteniendo constante la elección del votante, c₂:

Es decir, la utilidad del candidato es mayor cuando escoge la plataforma política que prefiere. En la segunda etapa, el ciudadano decide si vota o no por el candidato. Supongamos, por el momento, que sólo tiene estas dos opciones, es decir, que no se preocupa por otros candidatos. Su espacio de elección es C₂ = {V, A}, donde V es votar y A es abstenerse¹⁸. Suponemos que el ciudadano tiene preferencias sociales y que responde a sentimientos de reciprocidad fuerte. Su función de utilidad es de la forma:

donde p₂(m, c₂) es la función de pago material del ciudadano, que depende de la plataforma del candidato y de su decisión de voto; r₂ es un parámetro exógeno que mide la intensidad de las preferencias recíprocas del ciudadano; j₁ mide la amabilidad o descortesía que percibe en la actuación del candidato o su partido político; y s₂ es la utilidad generada por el gesto recíproco del ciudadano.

Definamos cada término. El pago material (p₂) del ciudadano depende de que vote o no. Si vota por el candidato, su pago material es el que se definió en la introducción:

Si no vota, es:

Suponemos, como es habitual en los estudios de la paradoja del votante, y como sugieren el sentido común y la evidencia empírica, que si la elección es concurrida y votan muchas personas, manteniendo lo demás constante, la probabilidad de ser el votante pivotal es prácticamente nula¹⁹. Es decir, si el número de votantes en una elección es suficientemente grande,

Si se elije a su candidato, el beneficio del ciudadano depende de la plataforma de aquél. Por otra parte, los actos del candidato generan sentimientos de reciprocidad en el ciudadano. Hemos dicho que j₁ representa la utilidad de estos actos. Como en Falk y Fischbacher (2006b), j₁ = q₁D₁, donde D₁ Î Â es el resultado para el votante de las acciones del candidato y q₁ Î [0, 1] es la intencionalidad percibida en el candidato de generar dicho resultado.

Cuando deciden si votan o no por cierto candidato, o si votan por su principal opositor, los votantes tienen en cuenta el resultado de cierta elección en sus vidas. Por ello, a la hora de definir el término del resultado se supone que son retrospectivos. Juzgan a los candidatos de acuerdo con sus acciones pasadas; no juzgan su ideología o su desempeño pasado consolidado. No es necesario suponer que los votantes son retrospectivos racionales, sino que usan reglas simples para compararse antes y después de un gobierno.

Siguiendo a Bendor et al. (2006), los votantes tienen un nivel de aspiraciones en el período anterior a un gobierno, que comparan con su pago en ese período. Sea B_t el pago en el período t. Ese pago depende de las decisiones de política económica del gobierno en t, y de factores aleatorios como guerras, pestes, bonanzas, etc. Llamemos a_t-1 a las aspiraciones del ciudadano en el período t – 1 con respecto al pago en t. Por ejemplo, a_t-1 podría ser el salario nominal que un trabajador aspira a percibir dentro de cuatro años, mientras que B_t es el salario verdadero que percibe al cabo de los cuatro años.

Definición 6: Feedback positivo y negativo

Un votante experimenta feedback positivo hacia un candidato o partido en el poder si el pago en t es superior a sus aspiraciones en t – 1. Es decir, si

Y experimenta feedback negativo si el pago en el período t es inferior a su aspiración en t – 1. Es decir, si

De esta definición se infiere que si el pago real es mayor o igual a las aspiraciones, la probabilidad de votar por el candidato en el poder en t es mayor o igual que la que se tenía en t – 1. Si el gobernante cumple las expectativas, la probabilidad de reelegirlo no es inferior a la del período anterior. De esta manera, en el contexto del problema del votante, el término de resultado se define de la siguiente manera.

Definición 7: Amabilidad de un gobernante

La amabilidad que un votante percibe en la acción de un gobernante durante un período de gobierno se representa como:

de manera que si B_t ³ a_t-1 se percibe amabilidad en el candidato, y si B_t < a_t-1 no se percibe amabilidad.

Cuando hay feedback positivo hacia un candidato-gobernante²⁰, cabe esperar que aumente la probabilidad de que el individuo vote por él porque juzga de manera amable su gobierno. Aunque aquí se define el feedback hacia candidatos o partidos en el poder, esta definición también se aplica a candidatos que no estaban en el poder en el período anterior.

Por último, hay que definir la utilidad que le produce al ciudadano su respuesta recíproca a los actos del candidato. En principio, por simplicidad sólo suponemos estrategias puras.

Definición 8: Utilidad del acto recíproco del ciudadano

Sea m la plataforma política elegida por el candidato. La utilidad que le produce al ciudadano su respuesta recíproca a esta elección del candidato, es:

En cada caso hallamos la diferencia entre el pago real para el candidato y el pago que habría obtenido si el ciudadano hubiese elegido la otra acción. Es decir, s₂ mide qué tanto modifica el ciudadano el pago del candidato con su decisión de voto. Es natural suponer, por concurrida que sea la elección y por insignificante que pueda ser un votante, que dado m, para el candidato u₁(m, V) – u₁(m, A) > 0. Cada voto adicional produce utilidad positiva al político, y cuanto más apretada sea una contienda electoral mayor será tal diferencia.

Con esta estructura teórica se puede demostrar una hipótesis central del modelo: con preferencias recíprocas, votar es un acto totalmente racional.

Teorema 1

Sea m la plataforma que elije el candidato en la primera etapa y supongamos que la elección es concurrida. Si las preferencias del votante están dadas por u₂(m, c₂) = p₂(m, c₂) + r₂j₁s₂, votar es preferible a no votar si hay feedback positivo y

Demostración

Supongamos que la elección del candidato es m Î {m_I, m_D}. El ciudadano preferirá votar si u₂(m, V) ³ u₂(m, A), o de manera equivalente, si p₂(m, V) + r₂j₁(m)s₂(V) ³ p₂(m, A) + r₂j₁(m)s₂(A). Votar es preferible si

Esta expresión equivale a:

Si existe feedback positivo, B_t – a_t-1 > 0, y si la elección es concurrida, votar es preferible cuando

Este teorema muestra que cuanto más importante sea la reciprocidad (r₂) (más feedback positivo), a mayor intencionalidad percibida en las acciones del candidato (q₁) y mayor cambio en la satisfacción del candidato por un voto adicional, más factible será que el ciudadano vote. El aumento de estos parámetros lleva a que el sentimiento de reciprocidad compense el costo de votar. Vale la pena hacer tres aclaraciones.

Primera, un hecho estilizado difícil de objetar es que cuanto más apretada es una elección votan más personas. ¿Cómo se aprecia este hecho en el modelo? Si las elecciones son reñidas, cabe esperar que aumente u₁(m, V) – u₁(m, A). Cada voto empieza a ser más y más importante para el candidato.

Segunda, otro hecho estilizado evidente en las elecciones es que la concurrencia de votantes es mayor en elecciones presidenciales que en elecciones legislativas. En el modelo, este fenómeno lo capta el parámetro q Î [0, 1], que mide la responsabilidad que el votante atribuye al político. En regímenes presidencialistas, se suele asignar más responsabilidad al presidente que a un congresista. Así, luego de observar B_t y compararlo con a_t-1, el ciudadano responsabiliza más al presidente por la diferencia entre su aspiración y su pago real. Esto explica porqué más personas votan para presidente.

Tercera, ¿qué ocurre cuando hay feedback negativo? En ese caso, de (4) es claro que al costo de votar se suma un término y, por tanto, es más factible que el ciudadano se abstenga. Con feedback negativo se generan sentimientos de reciprocidad negativa y el ciudadano querrá “castigar” al candidato con la única herramienta que tiene en este modelo: abstenerse²¹. El costo de votar estimula la abstención, y también la reciprocidad negativa. Este resultado se muestra en el teorema siguiente.

Teorema 2

Si un ciudadano experimenta feedback negativo y la elección es concurrida, de tal forma que la probabilidad de ser el votante pivotal es cercana a cero, el ciudadano preferirá abstenerse.

Demostración

Abstenerse es mejor que votar si

Se ha argumentado que cuando la elección es concurrida, Pr[G|V] – Pr[G|A] = 0. El lado derecho de (5) tiende a cero cuando crece el número de votantes. Si hay feedback negativo, B_t – a_t-1 < 0 y, por tanto, el lado izquierdo de (5) es positivo. Eso hace que la desigualdad se cumpla.

Este artículo analiza la conducta del votante y no la elección del candidato ni la escogencia de su plataforma política, pero algo se puede decir al respecto. Si m_{I 1} m_D, u₁(m_I, c₂) ³ u₁(m_D, c₂), para todo c₂ Î {V, A}, y lo contrario si m_{I 1} m_D. Por tanto, elegir la plataforma preferida es una estrategia estrictamente dominante para el candidato. En votaciones concurridas, cuando se cumple (4), en el equilibrio recíproco²² el candidato escoge su plataforma favorita y el ciudadano vota; pero si se satisface (5), en equilibrio el candidato escoge su plataforma favorita y el ciudadano se abstiene.

Generalicemos estos resultados ampliando el espacio de elección del candidato e incorporando estrategias mixtas para el ciudadano. Sea m Î [0, 1] el espacio de plataformas políticas y w Î [0, 1] la probabilidad de que el ciudadano vote por el candidato. Los resultados no difieren sustancialmente.

Teorema 3

Si el ciudadano experimenta feedback positivo y

votar es preferible a abstenerse.

Demostración

Si el ciudadano vota, la utilidad que genera su acto recíproco es s₂(V) = u₁(m, V) – [wu₁(m, V) + (1 – w)u₁(m, A)] = [u₁(m, V) – u₁(m, A)](1 – w). Por tanto, su utilidad es:

Si el ciudadano se abstiene, la utilidad de este acto recíproco es s₂(A) = u₁(m, A) – [wu₁(m, V) + (1 – w)u₁(m, A)] = w[u₁(m, A) – u₁(m, V)]. Y su utilidad es:

Se puede demostrar que la ganancia neta de votar es:

Si existe feedback positivo y si la probabilidad de ser el votante pivotal tiende a cero, una condición suficiente para que votar sea preferible a abstenerse es:

lo que completa la prueba.

Este teorema indica que el sentimiento de reciprocidad puede compensar los costos materiales de votar y que votar es un acto racional. Si comparamos (4) y (6) es claro que al incorporar estrategias mixtas la condición que garantiza el voto del ciudadano es más restrictiva. Esto es una consecuencia del cambio en la utilidad que genera el acto recíproco (s₂).

Recordemos que el espacio de estrategias del candidato ya no es binario sino continuo. Si suponemos que existe una plataforma m^* Î [0, 1] tal que m^* ₁ m, para todo m Î [0, 1], entonces u₁(m^*, c₂) ³ u₁(m, c₂) para todo c₂ Î {V, A}. De nuevo, elegir la plataforma preferida es una estrategia estrictamente dominante, y en el equilibrio recíproco el candidato elige m^* y el ciudadano vota si se satisface (6), y se abstiene en caso contrario. ¿Es una debilidad del modelo que elegir m^* sea una estrategia estrictamente dominante? Si el propósito del presente artículo fuera caracterizar a los candidatos, lo sería. Pero como se trata de explicar el comportamiento de los votantes desde la reciprocidad, no es una limitación. La determinación de m^* puede ser consecuencia de varios factores, ideológicos u oportunistas, de los candidatos. Incluso las teorías del votante mediano pueden ayudar a entender cómo se eligen las plataformas.

EVOLUCIÓN Y PARADOJA DEL VOTANTE

Hasta ahora, los jugadores tienen racionalidad maximizadora. Hemos supuesto que son capaces de elegir, dentro del conjunto de opciones, la que da el mayor pago (esperado, al incluir estrategias mixtas). Los individuos tienen gran capacidad cognitiva y pueden almacenar y procesar grandes cantidades de información. ¿Qué pasa si suponemos no racionalidad? Podríamos suponer que están “preprogramados” para jugar estrategias puras. Unos para votar, otros para abstenerse. Esto tiene sentido si aceptamos que, en una población de votantes potenciales, algunas características innatas podrían determinar su “tipo”. Por ejemplo, un militante del partido liberal seguramente es votante activo. Un anarquista quizá se abstenga. Algunos jóvenes se abstienen con alta probabilidad. Por tanto, se podría pensar que los ciudadanos son de algún tipo, determinado por la estrategia (pura o mixta) para la que están programados. Asimismo, los candidatos estarían programados para elegir una u otra plataforma política. Quizás en tal caso esto tenga más sentido. La afiliación partidista implica que cada candidato asuma una posición preestablecida ante ciertos temas. Quizá los grupos económicos y sociales que representa condicionen su postura. El representante de un partido cristiano puede estar “programado” para oponerse al aborto, y un candidato demócrata en Estados Unidos para favorecer políticas redistributivas u oponerse a la guerra en Iraq.

Los juegos evolutivos multipoblacionales²³ son un buen escenario para analizar la paradoja del votante con preferencias recíprocas. En los juegos evolutivos se supone en principio que los individuos están preprogramados para jugar estrategias (Smith, 1982). Al hablar del fenotipo de una especie y su lucha por la supervivencia quizás esto tenga sentido. ¿Pero lo tiene en ciencias sociales? Un escenario intermedio, entre esta postura y la “racionalidad maximizadora”, sería más enriquecedor. En particular, los procesos de aprendizaje son fundamentales para entender la evolución de normas sociales, hábitos, patrones culturales e instituciones. Y si bien el acto de votar se podría considerar en algunos casos como un fruto de la razón, también es una consecuencia de este tipo de patrones.

En lo que sigue usamos la dinámica del replicador propuesta por Taylor y Jonker (1978) para describir la evolución, en el mediano y el largo plazo, del porcentaje de votantes y abstencionistas. Este enfoque se podría cuestionar porque en la dinámica original del replicador se supone que los individuos están programados. Sin embargo, varios trabajos muestran que ciertos tipos de aprendizaje producen esa misma dinámica, como los de Binmore y Samuelson (1997), Borgers y Sarin (1997) o Cabrales (2000).

Otra posible crítica a este enfoque es que la dinámica del replicador describe una dinámica de largo plazo. Incluso al incorporar estabilidad estocástica en el espíritu de Young (1993 y 1998), la dinámica empieza a ser de “ultra-largo” plazo. Pero el problema de la votación es un asunto de corto o mediano plazo. Para subsanar estas dificultades, se podría introducir “ruido” a la dinámica del replicador, lo que haría posible modelar jugadores que aprenden en el mediano plazo (Gale, Binmore y Samuelson, 1995).

Consideremos dos poblaciones numerosas, M y N, compuestas por m candidatos y n ciudadanos. En cada período se extrae aleatoriamente un jugador de cada población y se empareja con uno de la otra población para interactuar en un juego de estado G, estático de dos jugadores. El conjunto de estrategias puras para el jugador 1, asignado a los jugadores de la población M, es C₁ = {m_I, m_D}. Los elementos de C₁ son las dos plataformas políticas disponibles. Cada jugador de la población M es del tipo c₁ Î C₁, es decir, los candidatos están programados para elegir alguna plataforma política. Por su parte, el conjunto de estrategias puras para el jugador 2, asignado a los miembros de N, es C₂ = {V, A}. Estos jugadores son del tipo c₂ Î C₂. De esta manera, los jugadores 2 están programados para votar (V) o abstenerse (A). Los individuos de cada población son emparejados durante un número indeterminado de períodos t = 1, 2,…, y su pago al final de cada período depende de su tipo y del tipo del otro jugador. La gráfica 3 representa el juego de estado en el que interactúan candidatos y ciudadanos.

Suponemos nuevamente que el jugador 2 tiene preferencias sociales y que experimenta reciprocidad hacia las acciones pasadas del candidato. Por tanto, la función (3) representa el pago para los jugadores de la población, con todos los parámetros definidos como en la sección anterior. Más adelante analizamos estos pagos en términos evolutivos. Para el jugador 1, se pueden establecer las siguientes relaciones:

Gráfica 3
Juego de la votación

Es decir, dada la plataforma m elegida por el candidato, su pago es mayor si el ciudadano vota que si se abstiene. Pero, fijando la elección del ciudadano, ¿qué plataforma prefiere el candidato? Existen dos posibilidades. Primera, es posible que exista una estrategia m^* Î {m_I, m_D} estrictamente dominante para el candidato y que, independientemente de que el ciudadano vote o se abstenga, sea mejor elegir m^*. Supongamos que la votación es concurrida, tal que Pr[G|V] – Pr[G|A] = 0. En este caso, el equilibrio de Nash con preferencias recíprocas para el juego de estado implica que el candidato elige m^*, y que el ciudadano vota si 2r₂q₁(B_t – a_t-1)[u₁(m^*, V) – u₁(m^*, A)] ³ c, y se abstiene en caso contrario. Éste es precisamente el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de la sección anterior, y se puede demostrar que es el único estado asintóticamente estable bajo la dinámica del replicador.

¿Qué ocurre si las preferencias del candidato por las plataformas dependen de la elección del ciudadano? Por ejemplo, podría elegir la plataforma que prefiere el ciudadano si éste vota, y la otra si se abstiene. Supongamos, sin pérdida de generalidad y sin sesgos ideológicos, que

Esto significa que por algún motivo el candidato prefiere elegir m_I si el ciudadano vota y m_D si se abstiene. Este supuesto se justifica porque el candidato se interesa en satisfacer un programa o promesa de campaña si el ciudadano vota por él, pero este incentivo se debilita cuando el ciudadano se abstiene. Además, supongamos que:

lo que es plausible por (8). Este supuesto garantiza que el ciudadano prefiera votar si el candidato elige m_I y abstenerse si elige m_D. Refleja su ideología o su interés político. Por (8), (9) y (10), el juego de estado tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras con preferencias recíprocas: (m_I, V) y (m_D, A).

Sea x Î [0, 1] la proporción de individuos tipo m_I, de la población M de candidatos, 1 – x es la proporción de candidatos tipo m_D. Llamemos y Î [0, 1] a la proporción de ciudadanos tipo V, y 1 – y a la proporción de ciudadanos tipo A; y indica el porcentaje de ciudadanos que votan y 1 – y el porcentaje de abstención. Nos interesa analizar la evolución de estos porcentajes, y para ello usamos la dinámica del replicador. Sea u₁(m_I, y) la utilidad esperada para un candidato tipo m_I si la proporción de votantes es y, y ₁(x, y) el pago esperado para un candidato extraído aleatoriamente de la población M. La ecuación de réplica para los candidatos es:

donde es el cambio en la proporción de candidatos tipo m_I. De (11) se puede ver que la proporción de candidatos tipo m_I crecerá en el tiempo si el pago esperado para los de este tipo es superior al pago promedio. Análogamente, sean u₂(x, V) y ₂(x, y) la utilidad esperada para un votante cuando la proporción de candidatos tipo m_I es x, y la utilidad promedio para un ciudadano extraído aleatoriamente de la población N, respectivamente. La ecuación de réplica para los ciudadanos es:

donde. Esta ecuación describe la evolución de la proporción de votantes, que aumenta en el tiempo si el pago esperado es mayor que el pago promedio. Las ecuaciones (11) y (12) definen el sistema dinámico de este juego entre candidatos y ciudadanos. Para encontrar los equilibrios evolutivos y entender la dinámica de largo plazo, se buscan los estados asintóticamente estables del sistema definido por las ecuaciones de réplica²⁴. Definamos los siguientes términos:

Es posible demostrar que la ecuación de réplica para los candidatos es:

y que la de los ciudadanos está dada por:

El teorema siguiente describe la dinámica del sistema, la cual muestra cómo evoluciona, en función de las condiciones iniciales, el porcentaje de votantes y abstencionistas.

Teorema 4

Sea y la proporción de votantes y x la proporción de candidatos tipo m_I. Las preferencias de los ciudadanos están dadas por (3), la elección es concurrida, los ciudadanos experimentan feedback positivo y se satisfacen las condiciones (7), (8), (9) y (10); entonces, para el sistema dinámico del juego de votación descrito por (13) y (14):

1. Los vectores de estrategias puras (m_I, V) y (m_D, A) son estados asintóticamente estables.

2. El vector de proporciones (x^*, y^*) es un punto de silla, donde

Demostración

Busquemos los puntos fijos del sistema dinámico. De (13), la proporción de candidatos tipo m_I no cambia si x = 0, x = 1 o si

Y de (14), es claro que la proporción de votantes no cambia cuando y = 0, y = 1, o

Como la elección es concurrida, la probabilidad de ser el votante pivotal es cero: Pr[G|V] – Pr[G|A] = 0. Por tanto,

Reemplazando en (15), llegamos a

Si x > x^*, y si x > x^*, . Además, si y > y^*, ; mientras que si y > y^*, . Esto permite concluir que (0, 0) y (1, 1) son estados asintóticamente estables, que corresponden a los equilibrios de Nash en estrategias puras (m_D, A) e (m_I, V). Por su parte, el vector (x^*, y^*) es un punto de silla. La gráfica 4 describe la dinámica del sistema.

¿Qué se puede concluir de estos resultados? En primer lugar, no sorprende que el equilibrio mixto no sea un equilibrio evolutivo, pues en juegos multipoblacionales los equilibrios en estrategias puras son los únicos candidatos a estados asintóticamente estables. Pero esto no significa que el equilibrio mixto no sea fundamental en el análisis. De hecho, el vector (x^*, y^*) determina el tamaño de las cuencas de atracción de los equilibrios evolutivos (m_D, A) y (m_I, V). La cuenca de atracción de un equilibrio evolutivo es el conjunto de vectores para los cuales la trayectoria del sistema, si está en ellos, tiende a dicho equilibrio. En otras palabras, la dinámica del replicador muestra que dependiendo de las condiciones iniciales del sistema, es decir, de las proporciones originales de tipos de candidatos y ciudadanos, el sistema converge a un equilibrio de abstencionismo o a uno de votación total. Esto no significa que en el corto o mediano plazo todos voten o se abstengan. Antes de llegar a uno de los equilibrios de largo plazo, la sociedad puede estar en desequilibrio. El sistema nos indica hacia dónde transita la sociedad, y cuáles son las fuerzas de largo plazo que condicionan las dinámicas de corto y mediano plazo.

Gráfica 4
Diagrama de fase para el juego de la votación

Cuanto más grandes sean x^* e y^*, más pequeña será la cuenca de atracción del equilibrio en el que votan los ciudadanos, (m_I, V). Dada una situación inicial, una menor cuenca de atracción implica que es menos factible que el sistema converja a este equilibrio. Y en este caso bidimensional, implica una mayor cuenca del otro. Por eso, la cuenca de atracción del equilibrio en el que los ciudadanos se abstienen es mayor y, dadas unas condiciones iniciales, es más factible que las fuerzas del sistema presionen al abstencionismo. De (16), es claro que x^* crece cuando aumenta c o cuando disminuyen r₂, q₁ y (B_t – a_t-1). Es decir, es menos probable que la dinámica lleve al equilibrio de votación plena cuando aumenta el costo de votar o cuando disminuyen la importancia del sentimiento de reciprocidad, la intencionalidad percibida en los resultados o acciones del candidato, y el feedback positivo experimentado por el votante.

Desde esta perspectiva, las acciones que buscan reducir los costos, como el voto electrónico, la instalación de urnas de votación menos distantes o los incentivos selectivos para estimular el voto, aumentan la cuenca de atracción del equilibrio en el que ciudadanos votan e inducen un aumento de la proporción de votantes. Si c = C – D, donde c es el costo neto, C el costo bruto y D el beneficio material o sicológico de votar (Riker y Ordeshook, 1968), los incentivos selectivos el día de elecciones aumentan la participación en el tiempo. Algo similar sucede con el deber cívico o la satisfacción personal que sienten los individuos cuando respaldan la democracia.

De manera análoga, cuando los candidatos en el poder aumentan el gasto público o generan sorpresas inflacionarias antes de elecciones, aumentando el producto y reduciendo el desempleo, aumentan el feedback positivo de los ciudadanos B_t – a_t-1. Al final del mandato se aceleran las obras públicas, se inauguran colegios y hospitales, y el gobernante saliente se muestra amable y jovial en los medios. Esto también aumenta la cuenca de atracción del equilibrio de votación. Y si se percibe que el mejoramiento de las condiciones de vida, o feedback positivo, obedece a las acciones del candidato o del partido del gobierno, aumentan la reciprocidad positiva y la cuenca de atracción de dicho equilibrio. Como vimos, en regímenes presidencialistas el parámetro q₁ es mayor para los candidatos presidenciales que para los aspirantes a otros cargos. Por eso las elecciones presidenciales tienen mayores niveles de participación.

El papel de la oposición es fundamental. En las campañas políticas suele haber escándalos y debates sobre la honra, la moral y las actuaciones de los candidatos. Un objetivo fundamental de un grupo político que no está en el poder es disminuir el feedback positivo que experimentan los ciudadanos hacia el grupo que está en el poder. En nuestro modelo, estas prácticas tienden a reducir el término B_t – a_t-1 de un candidato en el poder, lo que incrementa x^* y reduce la cuenca de atracción del equilibrio de votantes. Cuando Alan García aspiró a un segundo mandato, le recordaron continuamente los episodios de hiperinflación de su primer mandato, y a Álvaro Uribe, sus presuntos vínculos con grupos ilegales. Se podrían citar muchos otros ejemplos. Basta analizar un debate televisado entre candidatos.

¿Qué pasa si hay feedback negativo? En ese caso x^* < 0 y el vector de proporciones (x^*, y^*) pierde validez intuitiva. Es posible entonces mostrar que el único equilibrio evolutivo es (m_D, A). Los ciudadanos se abstienen de votar por los candidatos que empeoraron sus condiciones de vida. Esto no quiere decir que en el corto y el mediano plazo no se vote, sólo significa que la dinámica de largo plazo presiona a que se vote cada vez menos por desencanto con los gobiernos. El feedback negativo implica escepticismo, y éste implica abstención.

CONCLUSIONES

Estudios recientes sobre el comportamiento electoral sugieren que la percepción ciudadana acerca de los candidatos es fundamental para entender las decisiones de voto. Hoskin et al. (2005) afirman:

Las variables sociodemográficas, las percepciones del contexto económico, la identificación partidista y la ideología de los votantes no son variables clave para explicar su decisión electoral. En contraste, la percepción que se tiene de los candidatos y la importancia de los temas del debate electoral son fundamentales. Son factores en los que se refleja el papel de los medios de comunicación y las técnicas modernas utilizadas en las campañas.

Al parecer, en otras épocas, el ingreso, el nivel de educación, la raza o el género ayudaban a entender porqué algunos ciudadanos votaban y otros no. La filiación partidista explicaba por quién se votaba. Pero estudios como el de Hoskin et al., basado en las elecciones presidenciales de 2002 en Colombia, sugieren que los votantes ya no son prisioneros de variables sociodemográficas, sino que sus decisiones de voto obedecen a su percepción de los candidatos. Estos hallazgos refuerzan la hipótesis de este artículo. En un entorno en el que la percepción de los candidatos explica porqué y por quién se vota, sentimientos morales como la reciprocidad fuerte adquieren mayor importancia.

En el estudio de la conducta del votante, la “escuela sociológica” de ciencia política (Berelson et al., 1954) subraya la importancia de variables demográficas, económicas, sociales y culturales: el proceso de socialización en la familia y el entorno, la edad, la raza, el género o el nivel de ingreso condicionan fuertemente el comportamiento electoral. El modelo evolutivo que se presentó en este artículo se apoya en estos planteamientos. Los rasgos sociodemográficos corresponden al “tipo” de cada individuo. Pero la evolución de cada tipo depende de la percepción de los candidatos, el sentimiento de reciprocidad, el desempeño de los gobiernos, los costos de votar, los incentivos selectivos y el beneficio de ir a las urnas.

No obstante, los hallazgos recientes refuerzan la creencia de que los factores de entorno son cada vez menos determinantes y que la elección de los votantes es cada vez más racional. ¿Qué entendemos por racionalidad? Que los individuos sean racionales no implica necesariamente que sus preferencias sean egoístas. Hemos discutido a fondo el papel de las preferencias sociales en el comportamiento de los votantes. Ese es un primer aporte. En segundo lugar, y no menos importante, que los ciudadanos tomen decisiones racionales no implica que tengan gran capacidad cognitiva, como se suele suponer. Suponer votantes que maximizan la utilidad esperada²⁵ o minimizan el máximo arrepentimiento (Riker y Ordeshook, 1968) exige mucho a los agentes. Tal vez por eso algunas predicciones no son satisfactorias. El enfoque evolutivo que aquí se propone es útil porque da cuenta de los complejos fenómenos de aprendizaje que llevan a que los individuos adapten su comportamiento. Por eso es imperativo ir más allá de la dinámica de largo plazo que describen las ecuaciones de réplica, para descubrir las dinámicas de corto y mediano plazo implícitas en estos procesos políticos.

En su estudio sobre el comportamiento electoral en elecciones presidenciales en Colombia, entre 1974 y 2002, Losada et al. (2004) analizan los porcentajes de participación y de abstención. Con respecto a la población en edad de votar, la participación promedio fue del 46,6% entre 1974 y 1990, y del 37,4% entre 1994 y 2002. ¿Qué explica este aumento de la abstención? La crisis de los partidos tradicionales, la infiltración de dineros del narcotráfico en la política y los escándalos de corrupción generaron un feedback negativo en los ciudadanos. Si el voto de opinión se hizo más influyente, lo que acentúa la incidencia del sentimiento de reciprocidad fuerte en la decisión de voto, y si la imagen de los políticos fue desfavorable debido a los hechos mencionados, no sorprende que la participación haya disminuido.

El estudio también muestra que en las elecciones legislativas los porcentajes de participación fueron menores que en las elecciones presidenciales, como predice el modelo. Un hecho interesante de las elecciones de 2002 es el de los porcentajes de participación por región y municipio. Los municipios en los que la guerrilla de las FARC tiene influencia, en especial en el suroriente del país, tuvieron altos índices de abstención. En cambio, los municipios con influencia paramilitar tuvieron altas tasas de participación. Estos resultados indican que los grupos ilegales tienen una influencia no despreciable en la decisión de voto. En algunas regiones, los ciudadanos quizá son obligados a votar por un candidato particular, y en otras se les prohíbe votar. Esto altera el análisis pues modifica los incentivos para votar o abstenerse. Cuando un grupo armado prohíbe votar, el costo C del modelo se incrementa y de nada sirven los sentimientos de reciprocidad para compensar esto. Y si un grupo armado promueve el voto por un candidato, D aumenta e incrementa la participación. Para analizar casos como el colombiano es conveniente formalizar de manera más explícita el papel de los grupos ilegales en la decisión de voto.

Los colombianos de comienzos y mediados del siglo XX votaban o no según su filiación partidista y sus rasgos sociodemográficos. El voto era un hábito. A medida que terminaba el siglo, la proporción de votantes independientes aumentó, la filiación tradicional disminuyó y el papel de las ideologías y las características innatas de los ciudadanos se atenuó. El voto de opinión se tornó más importante. Pero en el sistema político colombiano, en donde las redes de clientela y los grupos armados tienen gran poder, es ingenuo explicar el acto de votar con la lógica del homo economicus. El desafío es ir más allá.

NOTAS AL PIE

1. Para Downs (1957), B = E[U¹_{t + 1}] – E[U²_{t + 1}], donde E[U¹_{t + 1}] es la utilidad esperada del ciudadano en t + 1, cuando se elije a su candidato preferido en t. E[U²_{t + 1}] es la utilidad esperada cuando se elije al candidato rival. Así, el beneficio es la utilidad cuando se elije a su candidato favorito menos la utilidad si se elije al rival, todo en términos esperados. Si el ciudadano prefiere al candidato 1, es natural suponer que E[¹_{t + 1}] > E[²_{t + 1}] y, por tanto, B > 0.

2. Suponiendo que la utilidad del ciudadano cuando se elije al candidato que no prefiere es cero.

3. La diferencia entre B y D es que este último no depende de que el candidato preferido por el ciudadano sea elegido. Es un beneficio derivado exclusivamente del acto de votar.

4. Descuentos en matrículas universitarias, bienes o servicios, promociones en almacenes y supermercados, días laborales libres, etc. El dinero recibido por vender el voto (así sea ilegal), la comida, la fiesta o las bebidas “ofrecidas” el día de elecciones, o la satisfacción de no ser agredido o asesinado cuando ciertos agentes obligan a votar por un candidato.

5. Es necesario diferenciar entre elecciones en condiciones de riesgo y de incertidumbre. En condiciones de riesgo es posible asignar probabilidades a los diferentes estados de la naturaleza. En condiciones de incertidumbre no es posible asignar o determinar dichas probabilidades. Por ello, si votar o abstenerse es un problema de elección en condiciones de incertidumbre, el criterio de maximizar la utilidad esperada no es pertinente, lo que da cabida a otros criterios, como el de minimizar el máximo arrepentimiento. Ver Luce y Raiffa (1957).

6. Ver Falk y Fischbacher (2006a), Gintis et al. (2006) y Bowles (2003).

7. Ver Guth y Tietz (1990), Roth et al. (1991) y Camerer y Thaler (1995).

8. Preferencias masoquistas o ascéticas implicarían una disminución de la utilidad ante incrementos de los pagos, pero aquí no nos interesan.

9. Grupos de cazadores-recolectores, horticultores, nómadas y agricultores.

10. Para una introducción a los juegos no cooperativos en forma extensiva y a los juegos dinámicos, ver Monsalve y Arévalo (2005).

11. Transitividad significa que para todo trío de nodos x¹, x², x³ Î X, si x¹ x², y x² x³, entonces x¹ x³. Asimetría significa que para todo par x¹, x² Î X, si x¹ x², entonces ~(x² x¹), es decir, si un nodo precede a otro, no es posible lo contrario.

12. En las funciones de pago se usan las creencias de primero y segundo orden del jugador i, porque la amabilidad que percibe en la acción de j es una percepción sicológica de lo que cree que piensa y hace el otro.

13. Un subjuego de un juego en forma extensiva G es una parte de G que se puede representar como un juego aparte. Ver Monsalve y Arévalo (2005).

14. Por simplicidad, en este caso sólo el jugador 2 tiene preferencias de este tipo, el jugador 1 no condiciona su comportamiento recíproco a acciones e intenciones previas del jugador 2.

15. Podríamos hablar de egoísmo, pero por las ambigüedades que suscita ese término es preferible hablar de interés propio.

16. Suponemos que el espacio de plataformas políticas es binario. Es deseable, por supuesto, generalizar el análisis a un espacio continuo, en el que la plataforma sea m Î [0, 1], donde 0 y 1 son los extremos del espectro político. Esto se hace más adelante.

17. Es decir, m_I m_D, o m_D m_I o ambas, en cuyo caso el candidato es indiferente entre las dos plataformas. Definimos así la relación de indiferencia ~: m_I ~ m_D Û m_I m_D Ù m_{D 1} m_I.

18. Para estudiar el impacto de la reciprocidad sobre la intención de voto es fundamental incorporar más candidatos y la opción “votar por el otro”. Esto es importante cuando se incorporan sentimientos de reciprocidad negativa.

19. Si llamamos p(v) a la probabilidad de ser el votante pivotal en función del número de votantes v, es de esperar que p’(.) < 0. De hecho, si suponemos que todos los votantes tienen la misma importancia, el valor de Shapley (1953) correspondiente a un juego cooperativo de votación implica p = 1/v (Riker y Ordeshook, 1968). Good y Mayer (1975), Chamberlain y Rothchild (1981) y Edlin et al. (2005) muestran porqué esta probabilidad disminuye con el número de votantes. Riker y Ordeshook (1968) sostienen que la probabilidad subjetiva de ser el votante pivotal no tiende necesariamente a cero cuando el número de votantes es grande.

20. O hacia un partido en el poder, en el caso de regímenes sin reelección inmediata.

21. Se puede suponer que su segunda acción disponible es “votar por otro o abstenerse”, lo que generalizaría el análisis. Pero esto no es pertinente porque los pagos por abstenerse pueden diferir considerablemente de los pagos por votar por otro candidato.

22. Ver la definición 5.

23. Para una introducción a los juegos evolutivos ver Weibull (1995) y Gintis (2000).

24. Sea f(x, y) un sistema dinámico en dos dimensiones. Un punto fijo de f es un vector (x^*, y^*), tal que f(x^*, y^*) = 0. Sea B_e(x, y) una bola abierta de radio e > 0 con centro en (x, y). Un punto fijo de f, (x^*, y^*), es asintóticamente estable si existe un e > 0 tal que para todo (x, y) Î B_e(x^*, y^*), lim_{t ® ¥} (x_t, y_t) = (x^*, y^*). De esta manera, si un sistema dinámico “cae” en un estado asintóticamente estable, permanece ahí a través del tiempo, por ser un punto fijo. Y si el sistema está lo suficientemente cerca del estado asintóticamente estable, tenderá a caer en él.

25. Como hacen Downs (1957), Tullok (1968), Ferejohn y Fiorina (1974), Palfrey y Rosenthal (1983 y 1985) y Medina (2006).

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