Transformaciones integrales y sus aplicaciones en finanzas

John Freddy Moreno Trujillo*

* Matemático y Magíster en Matemática Aplicada de la Universidad Nacional de Colombia. Docente Investigador de la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia. jhon.moreno@uexternado.edu.co

Forma de citar: Moreno Trujillo, J. F. (2015). Transformaciones integrales y sus aplicaciones en nanzas. ODEON,9, pp. 257-265. DOI: http://dx.doi.org/10.18601/17941113.n9.07.

Fecha recepción: 01 de junio de 2015. Fecha de aceptación: 01 de agosto de 2015.

Resumen

Se expone la aplicación de las transformaciones integrales de Mellin y Laplace para la resolución de la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes asociada al problema de valoración de derivados financieros.

Palabras clave: transformada de Mellin, transformada de Laplace, ecuación diferencial parcial de Black- Scholes. Código JEL: C30, C65.

Abstract

The implementation of Mellin and Laplace transforms to solve partial dierential equation associated with the Black- Scholes valuation problem of derivatives is exposed.

Key words: Mellin transform, Laplace transform, Black- Scholes partial dierential equation. JEL Code: C30, C65.

1. Introducción

En la teoría y la práctica financiera es bien conocida la importancia de la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes (EDP-BS) en la valoración de derivados financieros. Esta ecuación permite encontrar o aproximar la función que establece el valor de un derivado, bajo determinadas condiciones iniciales y de frontera. Si denotamos por V(t, S_t) al precio de un derivado en el instante t, mostrando que es función del tiempo t y del precio del subyacente S_t, la EDP-BS es:

donde r_f es la tasa de interés libre de riesgo y f(S_T) es el valor del derivado en el instante de vencimiento T.

Existen diversos métodos para la resolución de esta ecuación o de ecuaciones análogas de activos contingentes particulares, por ejemplo, procedimientos analíticos vía cambios de variable o métodos numéricos que buscan aproximaciones finitas.

En este artículo se expone la aproximación a la resolución de esta ecuación mediante la aplicación de transformaciones integrales, en particular las transformadas de Mellin y Laplace. En este procedimiento se aplica una transformación diferencial parcial considerada, transformación integral sobre la ecuación diferencial ordinaria resoluble por métodos estandar, para luego aplicar sobre la solución encontrada la transformación inversa. En la figura 1 se esquematiza el procedimiento, donde L denota la transformación integral aplicada y L⁻¹ su transformación inversa.

2. Transformaciones integrales

La transformación integral de una función f(x) sobre [a, b], denotada por L{f(x)} = F(k), se define como:

donde K(x, k) es el Kernel o núcleo de la transformación. El operador L es denominado transformación integral, F(k) es la imagen por el operador L de la función objetivo f(x) y k es la variable de transformación.

Existe una amplia variedad de importantes transformaciones integrales dentro de las cuales se destacan las transformadas de: Laplace y Mellin, cada una de las cuales se define mediante la selección particular del núcleo K(x, k), y diferentes valores de a y b. En las siguientes secciones se expondrá la aplicación de la transformada de Mellin y Laplace en la resolución del problema de valoración de activos contingente mediante la aplicación de este tipo de transformaciones sobre la EDP correspondiente.

Es evidente que el operador L es lineal, y con el ánimo de obtener f(x)> a partir de F(k) = L{f(x)}, se introduce el operador inverso L⁻¹ tal que:

que también resulta ser lineal.

3. Transformada de Mellin

La transformada integral de Mellin de una función g(x) se puede definir si la función g(x)x^k−1 ∈ L¹([0, ∞)), es decir si la función g(x)x^k−1 es integrable sobre los reales no negativos, y la transformada se define como:

Algunas propiedades de la transformada de Mellin son:

3. La inversa de la transformada de Mellin se define como:

3.1 Aplicación a la EDP-BS

Considerando que la función V(t, S_t) es tal que , son transformables Mellin, y siendo:

se puede aplicar la transformada de Mellin a la EDP-BS, obteniendo:

de donde,

que es una ecuación diferencial ordinaria cuya solución es:

y aplicando la transformada inversa sobre (9), con el cambio de variable k = α + iτ , dk = idτ, se tiene que:

expresión que permite determinar el valor del derivado en consideración.

4. Transformada de Laplace

La transformada de Laplace L{f(x)} se define mediante el núcleo K(x, k) = e^−kx, con α = 0 y b = ∞, luego:

y la transformada inversa se define como:

Algunas propiedades relevantes de la transformada de Laplace aplicada sobre las derivadas parciales de una función u(x, t) son:

4.1 Aplicación a la EDP-BS

Al realizar los cambios de variables:

se puede considerar una nueva función f(τ, x) = V(t, S_t), que satisface:

y al aplicar la transformada de Laplace sobre (15) se llega a la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

Para resolver la ecuación (16) de define = , donde Α = (1 − m)/2, entonces g¯(k, z) resuelve la ecuación:

donde b = α² + m. La ecuación 17 puede resolverse separando las regiones z > k y z ≤ k, para tener:

son determinadas por las condiciones de frontera del problema.

Referencias

Flajolet, P., Régnier, M., & Sedgewick, R. (1985). Some uses of the Mellin integral transform in the analysis of algorithm (pp. 241-254). Springer Berlin Heidelberg.

Frontczak, R., & Schöbel, R. (2010). On modified Mellin transforms, Gauss-Laguerre quadrature, and the valuation of American call options. Journal of computational and applied mathematics, 234(5), 1559-1571.

Frontczak, R., & Scho¨ bel, R. (2008). Pricing American options with Mellin transforms (No. 319). Tübinger Diskussionsbeitrag.

Fu, M. C., Madan, D. B., & Wang, T. (1999). Pricing continuous Asian options: a comparison of Monte Carlo and Laplace transform inversion methods. Journal of Computational Finance, 2(2), 49-74.

Panini, R., & Srivastav, R. P. (2004). Option pricing with Mellin transnforms. Mathematical and Computer Modelling, 40(1), 43-56.

Sepp, A. (2004). Analytical pricing of double-barrier options under a double-exponential jump diffusion process: applications of Laplace transform. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 7(02), 151-175.