DOI: https://doi.org/10.18601/17941113.n15.04
Predicción del cheapest to deliver en los contratos de futuros sobre bono nocional de corto, mediano y largo plazo*
Prediction of the cheapest to deliver in futures contracts on short, medium and long term notional bonds
Kimberly Rojas-Silva**
* Este documento fue presentado como requisito para obtener el título de magíster en Finanzas en la Universidad Externado de Colombia. Se agradece especialmente la asesoría de Javier Sandoval en la estructuración y el desarrollo de esta investigación. De igual manera, se agradecen los valiosos comentarios y observaciones de Juan Sebastián Lemus.
Las opiniones expresadas en este documento son responsabilidad del autor y no comprometen al Banco de la República ni a su Junta Directiva. Cualquier error u omisión en el contenido de este texto es responsabilidad exclusiva del autor.
** Magíster en Finanzas, profesional especializado. Mesa de Dinero, Banco de la República, Bogotá (Colombia). [krojassi@banrep.gov.co].
Artículo recibido el 10 de noviembre de 2018. Aceptado el 01 de diciembre de 2018.
Para citar este artículo: Rojas-Silva, K. (2018). Predicción del cheapest to deliver en los contratos de futuros sobre bono nocional de corto, mediano y largo plazo. ODEON, 15, 73-137.
Resumen
En este estudio se implementó el modelo Ho-Lee para identificar el bono de deuda pública con la mayor probabilidad de convertirse en el cheapest to deliver (CTD) en la fecha de vencimiento de los contratos de futuro sobre bono nocional, que se negocian en la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) entre 2008 y 2014. El modelo exige que la curva cero cupón (CCC) sea una variable exógena, a partir de la cual se realizan proyecciones de los posibles movimientos de las tasas de interés. Estos movimientos se proyectan entre la fecha actual y la fecha de vencimiento del contrato de futuro, periodo en el que se construyó el árbol de tasas Ho-Lee. Para calcular la CCC se utilizó bootstrapping, porque para los bonos utilizados dentro del cálculo este garantiza que tanto el precio teórico como el observado coincidan en la fecha del cálculo. Con base en la CCC y el árbol de tasas de Ho-Lee se calcularon los factores de descuento de los flujos futuros de los entregables y el precio limpio de cada bono; a partir de estos resultados halló el bono CTD. Finalmente, se realizó un análisis de sensibilidad del CTD frente a cambios en la volatilidad y en el nivel de tasas de interés.
Palabras clave: derivados, bonos, futuros, cheapest to deliver, Ho-Lee.
Clasificación JEL: D82, D84, G24.
Abstract
In this study I implemented the Ho-Lee model to identify which bond will become the Cheapest to deliver (CTD) at the delivery date of the futures contracts traded in the BVC between 2008 and 2014. In the model the zero curve (ZC) is an exogenous variable and it's used to predict the future movements of the interest rates between the current and delivery dates of the future contract, in this interval the Ho-Lee rate tree is built. Bootstrapping is used to construct the ZC, because it guarantees that the theoretical and observed prices for the bonds used in the process are the same at the current date. The discount factors for the future flows of the bonds in the basket and the clean price for each were found based on the ZC and the Ho-Lee rate tree. At this point, all the variables needed to calculate the CTD are known. Finally, the sensitivity of the CTD was tested by changing the interest rates and the volatility.
Key words: Derivatives, bonds, futures, cheapest to deliver, Ho-Lee.
JEL classification: D82, D84, G24.
Introducción
Este estudio presenta los resultados de la implementación del modelo de Ho-Lee para la valoración de bonos, y el cálculo del cheapest to deliver (CTD) en los contratos de futuro sobre bono nocional del mercado de deuda pública colombiano.
En septiembre de 2008, la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) lanzó los contratos de futuros sobre títulos de deuda pública, con el fin de profundizar y complementar el mercado de contado de deuda pública, y permite realizar operaciones de cobertura de tasa de interés, así como estrategias de especulación en los movimientos de tasa de interés. Este producto fue el primer derivado estandarizado que se negoció en el mercado de capitales colombiano y buscaba, además, aumentar la eficiencia de la administración de portafolios, y posibilitar el arbitraje y la formación de precios justos.
En comparación con países desarrollados, el mercado de derivados estandarizados en Colombia aún es pequeño e incipiente. El estudio de estos productos ayuda a comprender mejor las dinámicas del mercado local y contribuye a su profundización.
1. Mercado de futuros
En Colombia se negocian varios tipos de futuros de tasas de interés, entre ellos futuros sobre índices como la inflación (índice de precios al consumidor - IPC) y el Indicador Bancario de Referencia (IBR), y otros cuyos subyacentes corresponden a bonos de deuda pública. En esta última categoría se encuentran los futuros de Títulos de Deuda Pública (TES) de referencias específicas, y los futuros de TES nocionales. Por una parte, los futuros de TES de referencias específicas tienen como activo subyacente a un título "específico" de renta fija en pesos emitido por el Gobierno.
Por otra parte, los futuros de TES nocionales corresponden a aquellos que se negocian sobre un bono teórico, que para efectos de la negociación sustituye al conjunto de bonos de una canasta de entregables. Los bonos que constituyen la canasta de entregables son activos similares y se relacionan con el nocional a través de un factor de conversión. Dependiendo del plazo del bono teórico, los futuros de TES se clasifican en futuros de corto (2 años), mediano (5 años) y largo plazo (10 años), y para todos el subyacente es un título tes clase B tasa fija en pesos con pago de cupón anual.
La presente investigación analiza el comportamiento de los futuros de TES nocionales y el CTD, que corresponde al bono que el vendedor entregaría a su contraparte el día de vencimiento del contrato. No obstante, durante la vida del contrato de futuro el CTD puede cambiar cuando existen cambios relativos en los niveles de tasa de los bonos entregables, en la forma de curva de rendimientos o en las tasas repos para varios de estos bonos, y el CTD sería aquel que presente:
Dados los cambios de duración del entregable, el comprador se vería expuesto a cambios en el perfil de riesgo de su portafolio, que podrían ir en detrimento de su rendimiento y las políticas fijadas por su entidad. Por tanto, es conveniente para los inversionistas contar con una herramienta que permita conocer cuál de los entregables corresponderá al CTD o, al menos, indicar cuál de los entregables tiene la mayor probabilidad de serlo (Choudhry, 2010).
Henrard (2006) desarrolla una metodología de valoración de futuros basada en opciones, en la que se prueban con casos prácticos las condiciones bajo las cuales cambia el CTD y el impacto de dicho cambio en el perfil de riesgo del tenedor.
Los contratos que trata el presente estudio corresponden a los futuros sobre bonos nocionales que se negocian en la BVC. En estos contratos, el vendedor (parte corta) se compromete entregar al comprador (parte larga) un bono nocional en una fecha futura predefinida (fecha de vencimiento del futuro o de delivery).
Durante la negociación se transa el bono nocional que es un bono teórico emitido a la par1. Para efectos del cumplimiento, el contrato de futuro tiene como subyacente una canasta de bonos entregables con características similares, y son títulos TES clase B tasa fija en pesos, que se relacionan con el bono teórico a través de un factor de conversión (Bolsa de Valores de Colombia, 2014).
A pesar de que la parte corta puede elegir cualquier bono dentro de una canasta de entregables en la fecha de delivery, este preferirá entregar el CTD que es aquel cuyo costo de entrega sería el menor al calcular la siguiente expresión:
La BVC tiene un ciclo de vencimientos trimestrales en los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre. Además de vencimientos trimestrales, la BVC también cuenta con vencimientos mensuales. En todo momento hay disponibles para la negociación cuatro contratos: tres con vencimientos mensuales más cercanos y uno trimestral dentro del ciclo hasta seis meses. Cuando un contrato llega al vencimiento, se genera uno nuevo para mantener la estructura de vencimientos (Bolsa de Valores de Colombia, 2014).
1.1. Características de los contratos de futuros sobre bono nocional
El mnemotécnico de los contratos de futuros es el siguiente (tabla 1):
Estos contratos se negocian por precio y tienen un valor nominal de $250.000.000, con un tick de precio de 0,005 unidades que es equivalente a $12.500. La convención establece que el día de vencimiento de un contrato es el primer viernes del mes, pero el último día de negociación es el miércoles de esa semana (Bolsa de Valores de Colombia, 2014).
La liquidación de las operaciones se realiza por entrega física del activo subyacente en la fecha de delivery, y está sujeta al procedimiento establecido por la Cámara de Riesgo Central de Contraparte de Colombia (CRCC). Además, estos contratos son marked to market, es decir que las posiciones abiertas al final del día son valoradas al precio de liquidación por la Cámara de Riego Central de Contraparte de Colombia (CRCC) (2014).
1.2. Evolución del mercado colombiano de futuros sobre bono nocional
Las operaciones del mercado de futuros de TES han presentado un comportamiento mixto, caracterizado por periodos de bajo dinamismo, seguidos por intervalos con más contratos negociados. El periodo comprendido entre septiembre de 2008 y diciembre 2014 se puede dividir en tres subperiodos: I) de septiembre-2008 a diciembre-2010: en este periodo se lanza el producto y corresponde al de menor número de contratos pactados, los cuales oscilan entre 70 y 8726 mensuales; II) de enero-2011 a diciembre-2012: el mercado se consolida y aumentan las transacciones, los contratos pactados oscilan entre 1428 y 29.584 mensuales; y III) de enero-2013 a diciembre-2014: se presenta el máximo volumen mensual transado y se reduce significativamente su dinamismo desde mayo-2013 hasta el final del periodo (máx.: 42.263 y mín.:1769). Cabe resaltar que no hay contratos pactados desde diciembre del 2014; según algunos agentes consultados, este producto tuvo poca acogida por la mayor complejidad que implica el manejo de una canasta de entregables, y por los cambios que tiene el CTD durante la vigencia del contrato; además, luego de la introducción de contratos sobre referencias específicas2, el interés sobre los nocionales fue aún menor. Durante el periodo septiembre-2008 a diciembre-2014, los agentes prefirieron los futuros de corto y mediano plazo, con una participación de 44,66 y 38,92 %, respectivamente, sobre el total pactado (figura 1).
Con base en los precios de cierre de las operaciones de compra y venta de TES en pesos, se aplicó el modelo discreto de Ho-Lee para hallar el precio de los bonos y el de los contratos de futuro en la fecha de delivery. Con esta información fue posible identificar el CTD. Finalmente, un análisis de sensibilidad determinó cómo se ve afectado el CTD ante cambios en la curva cero cupón (CCC) y en la volatilidad.
2. Estado del arte
La presente investigación siguió la metodología de van Straaten (2009), con el objeto de identificar qué bono presentaba la mayor probabilidad de convertirse en el CTD en la fecha de delivery del contrato de futuro.
van Straaten (2009) utilizó el modelo de Ho-Lee para hallar el precio de los bonos entregables y del contrato de futuro desde la fecha de interés hasta la fecha de delivery. El modelo utilizado permitió construir un árbol binomial que replica el comportamiento de la CCC durante el periodo de análisis. Con base en las tasas del árbol Ho-Lee se calculó el precio de los bonos entregables y del futuro en la fecha de delivery, y con esta información fue posible determinar el bono CTD. El autor concluyó que el modelo es satisfactorio, con una diferencia máxima entre el precio teórico y el de mercado de 0,6 %. Adicionalmente, obtuvo la probabilidad de que cada entregable se convirtiera en el CTD a lo largo del árbol binomial (van Straaten, 2009).
Dado que el CTD puede cambiar de acuerdo con los movimientos de las tasas de interés durante la vigencia del contrato, se dificulta la aplicación de estrategias de cobertura. Al respecto Grieves et al. (2010) estudiaron el problema de cobertura de tasas de interés utilizando notas y bonos del Tesoro estadounidense. Con base en la premisa de que solo dos de los entregables son relevantes en el problema de cobertura3 (el de mayor y menor duración), los autores evaluaron la eficacia empírica de modelos con dos bonos relevantes. En esta investigación se encontró que el modelo se desempeña muy bien para el contrato sobre la nota mientras que presenta un desempeño muy pobre para el contrato sobre el bono, y concluyeron que las diferencias en el desempeño están relacionadas con la forma de la curva de rendimientos (Grieves et al., 2010).
Ho y Lee (1986) desarrollaron un modelo para pronosticar los posibles movimientos de la CCC, motivados por el incremento en el uso de derivados de tasas de interés y bajo la premisa de que estos productos dependen del comportamiento de la CCC. El interés por calcular primero esta curva radica en que a partir de ella es posible hallar el precio de cualquier derivado de tasa de interés y, por tanto, la metodología no estaría supeditada a una sola clase de activo contingente (Ho y Lee, 1986).
Dentro de los trabajos que han aplicado el modelo de Ho-Lee se puede citar el de Zazaravaka (2010), en el que se resaltó que el modelo depende exclusivamente de la volatilidad y de la probabilidad neutral al riesgo. Destacó además que permite tener en cuenta los posibles riesgos de tasas de interés debido a perturbaciones económicas, a diferencia de otros modelos de tasa de interés constante como el de Black-Scholes o el de Cox-Ross-Rubinstein. En este documento, el autor probó que en el modelo de Ho-Lee se excluyen todas las posibilidades de arbitraje, y que las características de las probabilidades neutrales al riesgo aseguran que el mercado sea completo. No obstante, se mencionaron desventajas tales como la posibilidad de evidenciar tasas negativas y una menor flexibilidad al considerar la volatilidad de las tasas de interés como constante.
El algoritmo de Leippold y Wiener (1992) buscó replicar el comportamiento de cualquier activo de tasa de interés. En su desarrollo los autores enfatizaron que una de las mayores ventajas de la metodología es que, en la fecha inicial del árbol de tasas de interés, la CCC coincide con la curva del mercado, por lo que el reto corresponde a la modelación de la incertidumbre de la CCC durante el periodo de interés.
De otra parte, Grant y Vora (2001) resaltaron la complejidad de la implementación discreta del modelo Ho-Lee, que por lo general requiere de métodos numéricos e inducción. En su trabajo, los autores identificaron expresiones recursivas en cada nodo, utilizando modelos binomiales y simulación de Monte Carlo para hallar las tasas de interés de corto plazo.
Flesaker (1993) realizó pruebas empíricas sobre el modelo de Heath, Jarrow y Morton, utilizando una volatilidad constante4 y el método de momentos generalizado con datos diarios de los futuros y opciones sobre futuros de Eurodólar. Los resultados muestran que el modelo no se ajusta a las dinámicas de los contratos de opciones sobre futuros, sobrevalorando las opciones de corto plazo y subvalorando las de largo plazo; al parecer, tales hallazgos obedecen a que se omitieron consistentemente el riesgo de crédito y la prima por riesgo de crédito5.
Dada la importancia de capturar el comportamiento de las tasas de interés al valorar activos contingentes y aplicar estrategias de cobertura, Chan, Karolyi, Longstaff, Sanders y Longstaff (2014) realizaron la estimación y comparación de ocho modelos en tiempo continuo de tasas de interés de corto plazo. En este documento se encontró que los modelos más exitosos en el ajuste, utilizando datos del rendimiento de los Treasury Bills, fueron aquellos que permiten cambios en la volatilidad de la tasa de interés. Particularmente, se encontró una alta dependencia entre la volatilidad y el nivel de la tasa de interés, razón por la cual modelos comúnmente usados como el de Vasicek (1977) y Cox, Ingersoll y Ross (1985) presentaron un peor desempeño al compararse con modelos menos conocidos como el de Dothan (1978) y Cox, Ingersoll y Ross (1980).
3. Metodología
En la presente sección se describen las generalidades de las técnicas aplicadas a lo largo del cálculo del CTD. En el desarrollo del estudio se siguió un proceso similar al aplicado por van Straaten (2009), en el que se requiere primero calcular una CCC, con base en la que se construye el árbol de tasas de interés de corto plazo. Para calcular la CCC se utilizó el bootstrapping y el modelo de Ho-Lee (1986) para construir el árbol binomial discreto de tasas de interés. Posteriormente, se calcularon los factores de descuento usando la información de CCC y el árbol de tasas Ho-Lee, con ellos fue posible calcular el precio limpio de los bonos y del contrato de futuro en la fecha de delivery. Finalmente, se halló el CTD utilizando los datos ya mencionados.
3.1. Bootstrapping e interpolación
El bootstrapping consiste en hallar de forma sistemática y recursiva las tasas cero cupón a partir del precio de los bonos de deuda pública disponibles en el mercado. Dado que un bono con cupones puede descomponerse en un conjunto de bonos a descuento que corresponden tanto a los intereses como al principal, el precio del bono debe ser la suma de los precios de bonos a descuento. Así, si existen bonos para todos los plazos de la curva de rendimientos, la CCC puede hallarse utilizando el siguiente procedimiento (Julio, Mera y Revéiz, 2002):
La CCC que se obtiene es libre de arbitraje para el conjunto de bonos usados, por esto es preciso utilizar los títulos de la canasta de entregables dentro del cálculo de la misma. Se escogió esta técnica debido a que garantiza que el precio teórico de los bonos será igual al observado, en el punto inicial del árbol (ecuación 2, método Bootstrapping).
Se empleó el método de interpolación linear on the log of discount factors para completar la información de tasas que no era posible conocer con los bonos disponibles en el mercado (Hagan y West, 2008). Se escogió este método debido a que la tasa forward de la curva es positiva y constante, es muy estable, fácil de implementar y comúnmente usada en la construcción de curvas de tasas de interés (ecuación 3, método de interpolación linear on the log of discount factors).
La ecuación 4 corresponde a la tasa forward de la curva hallada con el método de interpolación linear on the log of discount factors.
3.2. Modelo Ho-Lee para la valoración de productos de renta fija
El modelo Ho-Lee se aplica para calcular el CTD en la fecha de delivery. Este toma la estructura temporal de tasas de interés (ETTI) como un dato de entrada en la fecha inicial (t=0) y deriva los movimientos subsecuentes de la misma hasta el vencimiento del activo. Los movimientos de la curva no deben permitir la existencia de oportunidades de arbitraje, de esta forma el modelo es consistente con uno de equilibrio general. El modelo valora los activos contingentes por medio de los cambios observados en la ETTI, lo que permite aplicarlo a varias clases de derivados de tasas de interés (Ho y Lee, 1986).
Las asunciones básicas del modelo son las siguientes (Ho y Lee, 1986):
La ecuación 5 indica que un bono al descuento que vence instantáneamente debe tener un valor de $1.
La ecuación 6 indica que un bono con un vencimiento lejano debe tener un valor insignificante. Estas asunciones corresponden a las asunciones estándares que garantizan que un mercado de capitales sea perfecto bajo un marco de tiempo discreto.
3.2.1. El árbol binomial
En esta sección se describe la evolución de la ETTI, en el momento inicial se tiene que la FD es la siguiente:
En cada momento, la FD solo podrá pertenecer a un estado (al alza o a la baja) y en el siguiente momento, esta se convertirá en una FD que puede corresponder a un estado al alza o a la baja. Existen probabilidades neutrales al riesgo que describen la transición de un nodo al siguiente (figura 2). Los nodos de cada momento se relacionan entre sí a través de un árbol binomial, que forma la grilla utilizada para representar la ETTI. Tal diagrama se compone de M pasos y, por tanto, los intervalos temporales están definidos por la siguiente expresión:
En la figura 2, la posición de cada vértice del árbol binomial puede describirse por (n, i), donde para cada momento del tiempo n existen (n + 1) estados (i = 0, 1, n).
Para derivar el modelo es preciso desarrollar tres etapas:
3.2.2. La función de perturbación
Estas funciones definen las desviaciones de la FD. Es decir, especifican la diferencia entre el estado al alza y a la baja en los precios que rigen durante el próximo periodo.
Bajo un escenario sin incertidumbre, donde no se percibe interés en el próximo periodo, el valor de los dos estados debe ser el mismo, y para evitar la aparición de oportunidades de arbitraje la función de descuento debe corresponder a la función forward implícita Fi(n)(T), así se tiene que:
Sin embargo, al modelar la ETTI con incertidumbre la clave consiste en conocer cómo la función de descuento varía el próximo periodo de acuerdo con la función forward implícita. Para esto se definen las funciones de perturbación, h(T) y h*(T).
En el estado al alza:
En el estado a la baja:
Las funciones de perturbación especifican las desviaciones de las funciones de descuento respecto a la función forward implícita, es decir, especifican las diferencias entre los estados al alza y a la baja en el próximo periodo. Para cumplir con las ecuaciones 5 y 6 es preciso que se cumpla:
3.2.3. Probabilidad binomial implícita
Para evitar la aplicación de estrategias de arbitraje se establecen restricciones a las funciones de perturbación en cada vértice del árbol. El resultado muestra que si el movimiento al alza es muy grande, el movimiento a la baja debe ser similar, de forma que el promedio ponderado de todos los movimientos sea el mismo para todos los bonos. Ho y Lee demuestran que la restricción es la siguiente:
Esta probabilidad implícita es la equivalente a la probabilidad neutral al riesgo en el contexto de Cox, Ross y Rubinstein, y puede ser reescrita de la siguiente forma:
donde:
r: retorno del bono para un periodo.
u y d: los retornos del bono en los estados al alza y a la baja, respectivamente.
Por tanto, la probabilidad π es una medida del retorno en el estado a la baja respecto del spread entre los dos estados. Es decir, si la probabilidad es alta, los cambios en los precios estarán dominados por descensos en los precios y viceversa (ver ecuación 14).
3.2.4. Condición de path-independence
La condición de path-independence exige que la función de descuento debe evolucionar de un estado al otro de acuerdo con el número de estados al alza y a la baja, independientemente del orden en que se presenten. Por tanto, se debe imponer una restricción a las funciones de perturbación como a la probabilidad binomial implícita de forma que un movimiento al alza, seguido por uno a la baja, produzcan uno equivalente a un movimiento a la baja seguido por un movimiento al alza. A continuación se utilizan las ecuaciones 10 y 11 para representar esta situación:
Simplificando la ecuación 15 se obtiene:
Se utiliza la ecuación 13 para dejar la expresión anterior en términos de la probabilidad implícita y h(T):
De lo anterior se obtiene:
La constante δ debe satisfacer:
y
La solución de la ecuación diferencial de primer orden (ecuación 18):
3.2.5. Modelo de tasas libre de arbitraje
De acuerdo con Ho y Lee (1986), la expresión explícita de la función de descuento en cualquier estado y tiempo es:
Por tanto, la tasa de interés de un periodo será:
A diferencia del caso binomial usual, en el que se calcula la probabilidad neutral al riesgo a partir de los estados al alza (u) y a la baja (d), en este trabajo se utilizó el modelo calibrado a partir de la definición de la amplitud de los movimientos fijando la probabilidad neutral al riesgo en 0,5, siguiendo el procedimiento establecido en Ho y Lee (2004) y van Straaten (2009). Cuando el modelo se calibra utilizando probabilidades neutrales al riesgo de 0,5, la expresión para la tasa de interés de un periodo se calcula con la siguiente expresión (Ho y Lee, 2004):
Y la expresión para hallar los factores de descuento con probabilidades neutrales al riesgo de 0,5, que se utilizan para calcular el precio de cada bono entregable en la fecha del delivery, es la siguiente (van Straaten, 2009):
4. Resultados
4.1. Descripción de los datos
Los datos utilizados durante la realización del estudio corresponden a:
Información general sobre el futuro por analizar.
Con el objeto de identificar si el CTD cambia al variar las tasas, se calculó el precio del futuro en la fecha actual para diferentes niveles de tasa. En la figura 3 se observa que el entregable TFIT071506166 nunca se convierte en el CTD, mientras que el TFIT10281015 es el CTD cuando la tasa disminuye y el TFIT11241018 es el CTD cuando la tasa aumenta.
4.2. Cálculo de la curva cero cupón
Para calcular la CCC se utilizó la metodología de bootstrapping, usando la función de MatLab zbtprice (Anexo 1).
La curva cero cupón calculada en este caso tiene la siguiente forma:
En la construcción de la curva cero cupón se incluyeron las tasas del mercado OIS para los plazos de 1 y 30 días, con el fin de tener una referencia de corto plazo que permitiera realizar interpolación para hallar la tasa del primer paso del árbol Ho-Lee. Las tasas de este mercado pueden considerarse comparables con las provenientes de los títulos de deuda pública, porque se asume que son productos con bajo riesgo crediticio.
4.3. Árbol de Ho-Lee
En el proceso de construcción del árbol se utiliza la expresión de la ecuación 25 presentada por Ho y Lee (2004, pp. 139 y 140):
donde:
El primer término corresponde a la tasa forward a un periodo.
El segundo término corresponde al ajuste por la convexidad característica de los bonos.
El tercer término corresponde a movimientos ascendentes y descendentes de la curva luego de n periodos (movimientos independientes del nivel de la tasa).
n: número de pasos del árbol.
I: ubicación en el árbol en cada paso.
P(n): precio del bono cero cupón en el momento «n».
σ: volatilidad de la tasa de interés de corto plazo.
La volatilidad de la tasa de interés de corto plazo corresponde a la máxima desviación estándar de la serie histórica de las tasas de retorno de los títulos entregables del contrato en cuestión, calculada como:
Con base en la CCC, y utilizando el método de interpolación log linear on the discount factors (ecuación 3), se calculan las tasas cero cupón para los respectivos nodos del árbol (tabla 6):
4.4. Cálculo del cheapest to deliver
La ecuación (1) presenta la relación entre el CTD, el precio del bono, el factor de conversión y el precio del contrato de futuro. Para hallar el CTD se debe hallar el precio del bono y el de los contratos de futuros en la fecha del delivery utilizando la CCC y las tasas del árbol de Ho-Lee encontrados en las dos secciones anteriores.
4.4.1. Cálculo del precio de los bonos en la fecha de delivery
El precio de los bonos se calcula a partir del descuento de los flujos futuros y pago final, en la fecha del delivery. Para ello se utiliza la siguiente expresión:
donde:
: cupones
: momento en el que se pagan los cupones
: posición en el árbol de M pasos
: factor de descuento
El factor de descuento se halla a partir de la siguiente expresión (ecuación 26):
donde:
La tasa forward entre los puntos de interés es constante y corresponde a la expresión presentada en la ecuación 4. A continuación se muestran los resultados de los factores de descuento para cada flujo de los títulos entregables y los precios de los mismos en los nodos del último paso del árbol.
A partir de los factores de descuento de la tabla 8 es posible calcular las tasas equivalentes y con ellas construir una curva de tasas para cada nodo final del árbol. Estas curvas se extienden desde la fecha del delivery hasta la fecha del último flujo de los entregables. Dichas tasas se calcularon usando la siguiente ecuación:
El precio limpio de los bonos entregables se calcula como la sumatoria de los valores resultantes al multiplicar cada factor de descuento hallado en la tabla 8 por el valor del respectivo flujo (cupón o valor facial), y luego se le resta el valor de los intereses devengados hasta la fecha.
Para calcular el CTD en cada nodo de la fecha del delivery se toma el mínimo luego de comparar los valores correspondientes a:
Dado que las probabilidades neutrales al riesgo corresponden a 0,5, los precios del futuro en los nodos del árbol anteriores a la fecha del delivery se calculan a partir de la siguiente expresión:
Al igual que los precios del futuro, la probabilidad de que un bono se convierta en el CTD en los nodos anteriores al delivery también se halla descontando dicha probabilidad desde los nodos finales hasta el inicio del árbol, usando las probabilidades neutrales al riesgo de 0,5.
4.4.1.1. Análisis de sensibilidad TEMH12F: cambios en el CTD vs. cambios en la curva cero cupón
Para determinar los efectos en el CTD de los movimientos de las tasas se analizaron cinco escenarios en los que se modificó el valor de la curva cero cupón (CCC): 1) CCC+100 p.b., 2) CCC-100 p.b., 3) CCC+200 p.b., 4) CCC-200 p.b. y 5) CCC - 300 p.b. (figura 5). Si bien se evidencian cambios en el valor del futuro, el CTD en cada nodo es el mismo que resulta con los datos iniciales. Adicionalmente, es importante resaltar que se mantienen las relaciones expuestas en la figura 3:
4.4.1.2. Análisis de sensibilidad TEMH12F: cambios en el CTD vs. cambios en la volatilidad
Para determinar los efectos en el CTD de los movimientos de la volatilidad se analizaron seis escenarios en los que se modificó el valor de esta variable: 1) 0,01; 2) 0,015; 3) 0,02; 4) 0,025; 5) 0,035 y 6) 0,1 (figura 6). Si bien se evidencian cambios en el valor del futuro, el CTD en cada nodo es el mismo que resulta con los datos iniciales. Sin embargo, es importante resaltar que se mantienen las relaciones expuestas en secciones precedentes:
4.4.2. Resultados de la metodología para otros contratos
La metodología se aplicó de la misma forma explicada en las secciones precedentes y siguiendo este orden:
4.4.2.1. Contrato corto plazo: TESH13F
Los resultados de este ejercicio muestran que el CTD cambia en los nodos del árbol en la fecha de delivery, siendo el TFIT06140514 el CTD en los nodos con las tasas más bajas ([1,4] y [0,4]) y el TFIT10281015 resultó el CTD en los nodos con las tasas más altas ([4,4], [3,4] y [2,4]), estos hallazgos son coherentes con lo observado en la figura 7.
Para determinar los efectos en el CTD de los movimientos de las tasas se analizaron cinco escenarios en los que se modificó el valor de la CCC: 1) CCC+100 p.b.; 2) CCC-100 p.b.; 3) CCC+200 p.b.; 4) CCC-200 p.b., y 5) CCC - 300 p.b. (figura 9). Si bien se evidencian cambios en el valor del futuro, el CTD en cada nodo es el mismo que resulta con los datos iniciales. Adicionalmente, es importante resaltar que se mantienen las relaciones expuestas en la figura 7.
En el análisis de sensibilidad del CTD respecto a cambios en la volatilidad se manejaron seis escenarios en los que se modificó esta variable: 1) 0,01; 2) 0,015; 3) 0,02; 4) 0,025; 5) 0,04, y 6) 0,1. A diferencia del contrato de mediano plazo, a medida que se incrementa el valor de la volatilidad, el TFIT10281015 deja de ser el CTD en todos los nodos del árbol, y el TFIT06140514 se convierte en el CTD en los nodos de las tasas más bajas ([0,4] y [1,4]); por encima de una volatilidad del 0,1 no se evidencian más cambios en el CTD para cada nodo del árbol (figura 10).
Para consultar los resultados en detalle ver Anexo 2.
4.4.2.2. Contrato largo plazo: TELJ10F T4
Los resultados de este ejercicio muestran que el CTD no cambia en los nodos del árbol en la fecha de delivery, y siempre corresponde al TFIT16240724. Esto obedece a que las tasas del árbol Ho-Lee no abarcan el rango en el cual cambia el CTD, de acuerdo con lo que se observa en la figura 11.
Para determinar los efectos en el CTD de los movimientos de las tasas se analizaron cinco escenarios en los que se modificó el valor de la CCC: 1) CCC+100 p.b.; 2) CCC-100 p.b.; 3) CCC-200 p.b.; 4) CCC-300 p.b., y 5) CCC - 325 p.b. (figura 13). Se identifica que a medida que disminuyen las tasas de la curva cero cupón, el TFIT16240724 deja de ser el CTD en todos los nodos del árbol y el TFIT15240720 se convierte en el CTD en los nodos que corresponden a las tasas más bajas, incluso en el último escenario esta referencia es el CTD en cuatro nodos ([0,4], [1,4], [2,4], [3,4]).
En el análisis de sensibilidad del CTD respecto a cambios en la volatilidad, se manejaron seis escenarios en los que se modificó esta variable: 1) 0,01; 2) 0,015; 3) 0,02; 4) 0,035; 5) 0,045, y 6) 0,1. A partir de una volatilidad de 0,015 el CTD en los nodos de tasas más bajas ([1,4], [0,4]) es el TFIT15240720, y en los restantes es el TFIT16240724 (figura 14).
Para consultar los resultados en detalle ver Anexo 3.
5. Conclusiones
De acuerdo con los casos analizados en las secciones anteriores se puede concluir que:
- En el contrato de corto plazo no se evidencian cambios en el CTD, los resultados son iguales a los obtenidos con los datos iniciales.
- En el contrato de mediano plazo no se evidencian cambios en el CTD, los resultados son iguales a los obtenidos con los datos iniciales.
- En el contrato de largo plazo el TFIT16240724 deja de ser el CTD en todos los nodos del árbol cuando aumenta la tasa.
- En el contrato de corto plazo, el TFIT10281015 deja de ser el CTD en todos los nodos del árbol, y el TFIT06140514 se convierte en el CTD en los nodos de las tasas más bajas.
- En el contrato de mediano plazo no se evidencian cambios en el CTD, los resultados son iguales a los obtenidos con los datos iniciales.
- En el contrato de largo plazo, el TFIT16240724 deja de ser el CTD en todos los nodos del árbol cuando aumenta la volatilidad.
Notas
1 El día de vencimiento de cada contrato.
2Se empezaron a negociar desde abril de 2013.
3 Esta afirmación la extrajeron los autores Grieves y Marcus (2005, pp. 70-76).
4 Este modelo corresponde al límite en tiempo continuo del modelo originalmente desarrollado por Ho y Lee.
5 El índice subyacente de los contratos Eurodólar es la Libor a tres meses, que involucran la prima de riesgo por encima de las tasas de los Treasury Bills.
6 El mnemotécnico de los títulos de deuda pública se compone de los siguientes elementos TFIT (TES tasa fija en pesos) + 07 (periodo inicial al vencimiento del título) + ddmmaa (fecha de vencimiento del título).
Referencias
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Zbtprice (n. d.). MathWorks. Recuperado de https://es.mathworks.com/help/finance/zbtprice.html.
Anexos
Anexo 1
Función zbtprice de MatLab
La función utiliza la metodología del bootstrapping para calcular la curva cero cupón con base en un portafolio de bonos con cupón y sus respectivos precios. La curva cero cupón contiene las tasas hasta el vencimiento para un portafolio teórico de bonos cero cupón, que son calculados a partir de la información del portafolio de bonos de entrada. La metodología de bootstrapping que utiliza la función no requiere que exista alineación entre las fechas de pago de cupones de los bonos del portafolio de entrada.
A continuación se presentan los parámetros de entrada de la función:
A continuación se presenta la información de salida de la función:
Ejemplo de uso de la función:
INFORMACIÓN DE ENTRADA
Bonds = [datenum('6/1/1998') 0,0475 100 2 0 0;
datenum('7/1/2000') 0,06 100 2 0 0;
datenum('7/1/2000') 0,09375 100 6 1 0;
datenum('6/30/2001') 0,05125 100 1 3 1;
datenum('4/15/2002') 0,07125 100 4 1 0;
datenum('1/15/2000') 0,065 100 2 0 0;
datenum('9/1/1999') 0,08 100 3 3 0;
datenum('4/30/2001') 0,05875 100 2 0 0;
datenum('11/15/1999') 0,07125 100 2 0 0;
datenum('6/30/2000') 0,07 100 2 3 1;
datenum('7/1/2001') 0,0525 100 2 3 0;
datenum('4/30/2002') 0,07 100 2 0 0];
Prices = [99.375;
99.875;
105.75;
96.875;
103.625;
101.125;
103.125;
99.375;
101.0;
101.25;
96.375;
102.75];
Settle = datenum('12/18/1997');
OutputCompounding = 2;
Aplicación de la función
[ZeroRates, CurveDates] = zbtprice (Bonds, Prices, Settle,...OutputCompounding)
Información de salida de la función
ZeroRates =
0,0616
0,0609
0,0658
0,0590
0,0647
0,0655
0,0606
0,0601
0,0642
0,0621
0,0627
CurveDates =
729907
730364
730439
730500
730667
730668
730971
731032
731033
731321
731336
Información tomada de la página web de MathWorks el día 14 de febrero del 2017. Enlace de consulta: https://es.mathworks.com/help/finance/zbtprice.html.
Anexo 2
Paso a paso de la implementación para el contrato de corto plazo: TESH13F
Antes de implementar la metodología, y con el objeto de identificar si el CTD cambia para diferentes tasas, se calculó el precio del futuro en la fecha actual para diferentes niveles de tasa (yield). En la figura 7 se observa que el entregable TFIT06140514 es el CTD cuando la tasa disminuye, mientras que el TFIT 10281015 se convierte en el CTD cuando la tasa aumenta.
La curva cero cupón calculada para este caso tiene la siguiente forma (tabla 17):
En la construcción de la curva cero cupón se incluyó información del mercado OIS para los plazos de 1, 30 y 90 días, con el fin de tener referencias de corto plazo que permitieran realizar interpolación para hallar las tasas correspondientes a los pasos del árbol Ho-Lee.
Con base en la CCC calculada, y utilizando el método de interpolación log linear on the discount factors (ecuación 3), se calculan las tasas cero cupón para los respectivos nodos del árbol (tabla 19):
A continuación se presentan los resultados de los factores de descuento, las tasas equivalentes y precios del futuro utilizando la misma volatilidad, calculada como la mayor desviación estándar de las tasas de retorno históricas de los dos entregables.
A partir de los factores de descuentos de la tabla 21 es posible calcular las tasas equivalentes y con ellas construir una curva de tasas para cada nodo final del árbol. Estas curvas se extienden desde la fecha del delivery hasta la fecha del último flujo de los entregables del contrato de futuro. Dichas tasas se calcularon usando la ecuación 29.
Anexo 3
Paso a paso de la implementación para el contrato de largo plazo: TELJ10F
Antes de implementar la metodología, y con el objeto de identificar si el CTD cambia para diferentes tasas, se calculó el precio del futuro en la fecha actual para distintos niveles de tasa (yield). En la figura 11 se observa que el entregable TFIT15240720 es el CTD cuando la tasa disminuye, mientras que el TFIT16240724 se convierte en el CTD cuando la tasa aumenta.
La curva cero cupón calculada para este caso tiene la siguiente forma (tabla 28):
En la construcción de la curva cero cupón se incluyó información del mercado monetario, específicamente las tasas del mercado OIS para los plazos de 1 y 30. Esto con el fin de tener referencias de tasas de corto plazo que permitan realizar interpolación para hallar las tasas de los dos primeros pasos del árbol Ho-Lee.
Con base en la CCC calculada, y utilizando el método de interpolación log linear on the discount factors (ecuación 3), se calculan las tasas cero cupón para los respectivos nodos del árbol (tabla 30):
A continuación se presentan los resultados de los factores de descuento, las tasas equivalentes y los precios del futuro utilizando la misma volatilidad calculada como la mayor desviación estándar de las tasas de retorno históricas de los dos entregables.
A partir de los factores de descuentos de la tabla 32 es posible calcular las tasas equivalentes y con ellas construir una curva de tasas para cada nodo final del árbol. Estas curvas se extienden desde la fecha del delivery hasta la fecha del último flujo de los entregables del contrato de futuro. Dichas tasas se calcularon usando la ecuación 29.
Dado que el CTD en todos los nodos del árbol el día del delivery es el mismo título, no se precisa calcular el árbol de probabilidades de que un determinado entregable se convierta en el CTD en la fecha actual.